geogebra

Basit bir doğru denklemi

Evet, bu yazıda ortaokuldan beri bildiğimiz bir doğru denklemi üzerine bir şeyler anlatacağım. \(a\cdot x + b \cdot y = c \) Hayır, bulduğum yeni bir şey yok. Sadece bu hafta içinde bu doğru ile benim aramda geçen şeylerden bahsedeceğim.

Bütün okul hayatım boyunca matematik hep merkeze yakın bir yerde oldu. Matematikçi olmadım ama mühendis oldum. Bu doğru denklemiyle ortaokuldan beri haşır neşirim. Peki bu doğruyla ilgili neler biliyordum?

Ortaokuldan beri bunun bir doğru denklemi olduğunu biliyorum. Hatta biraz uğraşırsam, yani beş on saniye içinde bu doğrunun eğimi ile x ile y koordinatlarını kestiği noktaları kafadan bile hesaplayabileceğimi biliyorum.

Hadi bu iddialarımı bir deneyeyim.

x’li terimi eşitliğin öbür tarafına atıp iki tarafı b’ye bölersem

\(a \cdot x + b \cdot y = c \)

\(b \cdot y = c – a \cdot x \)

\(y = \frac{c}{b} – \frac{a}{b} \cdot x \)

O zaman da eğim x teriminin katsayısı olan \(– \frac {a}{b} \) demektir. Pozitif a ve b katsayıları için eğim negatifmiş. Yani doğru sol üst taraftan sağ alt tarafa doğru gidiyormuş. Eğimle ilgili hemen kafadan hesaplayabildiğim ve hatırladığım şeyler bu kadar.

Peki bu doğru x ve y koordinatlarını nerede keser? Bunu da kafadan çözmek çok kolay. x eksenini kestiği yeri bulmak için y yerine 0 değerini koyup x değerini bulurum.

\(a \cdot x + b \cdot 0= c \)

\(a \cdot x = c \)

\(x = \frac {c}{a} \)

y eksenini kestiği yer için de x yerine 0 koyup denklemi y için çözerim.

\(a\cdot 0 + b \cdot y = c\)

\(b \cdot y = c \)

\(y = \frac{c}{b} \)

Bu kadar basit. Hatta yine a, b ve c katsayılarının pozitif olduğunu varsayarsak eksenlerin kesildiği noktaların da pozitif olduğunu görürüz ve bu da doğru üzerindeki bir noktanın y ekseninin pozitif tarafında, diğer başka bir noktanın da x ekseninin pozitif tarafında olduğunu söyler ve bu şekilde de doğrunun sol üstten sağ alta doğru gittiğini görebiliriz. Bu da eğimin negatif olduğunu söyler.

Sanırım bu haftaya kadar bu doğrunun sadece bu özellikleriyle ilgilendim. Aslında bu doğrunun daha başka bir özelliği de yoktur heralde, çünkü bu bilgilerle diğer her şey çıkarılabilir. Benim bahsetmek istediğim bu doğrunun benim için başka hiçbir şey çağrıştırmamasıydı. Bütün özelliklerini kolayca hesaplayabildiğim basit bir matematiksel nesne. Bu kadar.

Bu hafta kendi kendime okuduğum bir ekonomi kitabında bütçe ve bu bütçeye göre iki ürün arasından nasıl seçimler yapılabileceği anlatılıyordu. Tabii ki ürünlerin birbirinin yerine geçip geçemediği filan gibi durumlar da seçimde önemli ama en basit durum olarak bir kişinin belli bir bütçeyi bu ürünlere nasıl dağıtabileceği genel olarak ifade edilebilir.

Örneğin ürünlerin birinin birim fiyatına \(p_x\) diyelim. Bu üründen x adet alırsak bunun için toplam \(p_x \cdot x \) harcamış oluruz. Aynı şekilde diğer ürünün birim fiyatına \(p_y \) dersek, bu üründen y miktarda alırsak bunun için de toplam \(p_y \cdot y \) harcamış oluruz. Eğer tüm bütçemiz b ise ve bu bütçeyi bu şekilde iki ürüne dağıtırsak ürünler için yaptığımız harcamaların toplamı b olacaktır. Bunu bir denklem şeklinde yazarsak da

\(p_x \cdot x + p_y \cdot y = b \) denklemini elde ederiz. Biraz dikkatli baktığımızda bu denklemin yazının başında bahsettiğim denklemle aynı olduğunu görebiliriz. denklemdeki bütün katsayılar da yukarıda varsaydığım gibi pozitif, yani eğimler ve eksenlerle kesişim noktaları da aynı yukarıdaki analizdeki gibi kolayca görülebilir.

Buraya kadar yeni bir şey yoktu. Kitaptaki benim için ilginç işlemler tabii ki fiyatlar ve bütçedeki değişikliklerle başladı. bir ürünün fiyatı artarsa bu doğru nasıl değişir? Bütçe azalırsa doğru nasıl hareket eder? Bu soruları tabii ki cebirle bulmak zor değil ama kafamda oluşmuş bir sezginin olmadığını farkettim. Belki bütçe için bir şey diyebilirdim ama o da biraz düşündükten sonra. Denklemdeki bütçe terimi olan b büyürse yeni doğrunun eğimi de değişmeyecektir. Çünkü eğim sadece diğer iki sabite bağlı. Bu durumda doğru sadece paralel olarak kaydırılacak ama ne tarafa? Bütçe arttığına göre iki üründen de daha fazla alınabilecek, o zaman sağa ve yukarıya doğru paralel kayacak. Evet, görüldüğü gibi mantıkla bunları bulmak kolay ama bende bu his henüz otomatikleşmemiş. Peki x ürününün fiyatı azalırsa doğru ne tür bir hareket yapar sorusuna bakalım. x ürününü fiyatı azalırsa o üründen daha çok alınabilir, yani miktarı artar. Bu da doğrunun x eksenini kesen noktasının sağa doğru hareket etmesi demek. Peki bu sırada doğrunun y eksenini kesen noktasının hareketi nasıl olur? Yazının ilk başında yaptığım analize bir göz atarsak ve bu analizi aynen bütçe doğrusuna uygularsak, bu noktanın sadece bütçeye ve y ürününün fiyatına bağlı olduğunu görürüz. O zaman o nokta hiç hareket etmeyecek. Yani doğrumuz y eksenini kesen nokta etrafında saat yönünün tersi yönünde dönecek. Matematikle bu sonuçları hala kolayca bulabiliyordum ama hayatım boyunca bu doğruya bu soruları sormadığımdan cevaplar ilk başta biraz yabancı geliyordu.

Bu fikirlerle ya da sorularla daha kolay oynayabilmek için bu denklemi geogebra’da yazdım ve parametreleri kaydırarak değişimi anında görsel bir şekle çevirdim. Bu yöntem kağıt kalemle bu işi defalarca yapmaktan daha iyi mi değil mi bilmiyorum. Belki kişiden kişiye göre de değişiyordur ama merak edenler için linki buraya koyuyorum.

Bütçe doğrusu

Matematikte aklıma takılan bir şey

Bir şeyi uygulamakla anlamak arasında epey bir fark vardır. Benim için matematikte de bu hep böyle oldu. En basitinden çarpma işlemini neden öyle yaptığımı üniversite yıllarında anladım. Anlamak için üzerinde düşünmek de gerekiyor tabii. Birçok şeyi bu kadar geç anlamamın nedeni bunların üzerine düşünmüyor olmam. Uygulama işe yaradığı sürece nedenini sormaya ihtiyaç duymuyorum.

Aklıma takılan bu soru da uygulamada hiç sorun çıkartmadı ama biraz düşününce bazı şeyleri pek anlamadığım hissini uyandırdı. Olay lisede sınavlarda sık sık karşımıza çıkan çemberlerin kesişimi problemleri. Daha da açık anlatmam gerekirse, verilen iki çemberin kesiştiği noktaları bulma problemi. Çözümü çok kolay. İki çemberin denklemleri alınır, bu denklemler birbirlerine eşitlenir ve bu eşitliği sağlayan noktalar da çemberin kesiştiği noktalardır deriz. Yöntem basit ama uygulamada bir sorun var. Aklıma takılan kısım da hep bu oldu. Bu problemleri çözerken denklemleri eşitlediğimiz zaman çoğunlukla bir doğru denklemi bulmuşuzdur. Fakat çözdüğümüz problemlerde iki çember birbirini sıfır, bir ya da iki noktada keserdi. Doğru denklemini sonsuz tane nokta sağlar (doğru üzerindeki bütün noktalar) ama bu noktaların en fazla iki tanesi aynı anda bu iki çember üzerinde olur. O zaman bu doğruyu verilen çemberlerin biriyle kesiştirip (denklemleri eşitleyip) aradığımız noktaları buluruz. Şimdi aklıma takılan soruyu ifade edeyim: İki çember denklemini eşitlediğimizde neden bir doğru denklemi elde ediyoruz?

Önce birkaç örnek yapayım:

Örnek 1: Çemberlerimiz \(y^2 + x^2 = 4\) ve \(y^2 + (x – 2)^2 = 1\) olsun. Bu iki çemberin kesiştiği noktaları bulalım.

Birinci örnekteki çemberlerin kartezyen koordinat sisteminde gösterimi

Grafikte de görüldüğü gibi iki çember C ve D noktalarında kesişiyor. Peki şimdi bu noktaları lisede öğrendiğimiz gibi bulmaya çalışalım.

İki çember denklemini de eşitleyelim.

\(y^2 + x^2 – 4 = y^2 + (x – 2)^2 – 1\)

Şimdi bu yeni denklemi çözelim. İki taraftan da \(y^2\) terimlerini sadeleştirebiliriz.

\(x^2 – 4 = (x – 2)^2 – 1\)

Şimdi diğer terimleri açalım

\(x^2 – 4 = x^2 -4x + 4 – 1\)

\(x^2\) terimlerini sadeleştirelim ve sabit sayıları düzenleyelim.

\(– 7 = -4x\)

Bu denklemi de çözersek \(x = 7/4\) çıkar. Yani aradığımız noktalar x koordinatı 7/4 olan noktalar kümesinin elemanları ama bu noktalar bir doğru oluşturmakta. Şimdi bu doğruyu da grafiğimizde gösterelim.

İki çemberin denklemini eşitlediğimizde C ve D noktasından geçen doğrunun üzerindeki noktalar kümesini bulduk

Son olarak bu doğruyla çemberlerden birini kesiştirdiğimizde aradığımız iki noktayı bulacağız. Bunun için A çemberinde x yerine 7/4 değerini koymamız yeterli.

\(y^2 + (7/4)^2 = 4\)

\(y^2 + 49/16 = 4\)

\(y^2 = 4 – 49/16\)

\(y^2 = 15/16\)

\(\left| y \right| = \sqrt{15}/4\)

\(y = \sqrt{15}/4\) ve \(y = -\sqrt{15}/4\)

Şimdi bir de kesişmeyen çemberler örneğine bakalım. Bunun için ikinci çemberi birinci çemberden biraz daha uzağa taşıyacağım.

Örnek 2: Çemberlerimiz \(y^2 + x^2 = 4\) ve \(y^2 + (x – 4)^2 = 1\) olsun. Bu iki çemberin kesiştiği noktaları bulalım.

Aynı yöntemle bu problemi inceleyeyim.

\(y^2 + x^2 – 4 = y^2 + (x – 4)^2 – 1\)

\(x^2 – 4 = (x – 4)^2 – 1\)

\(x^2 – 4 = x^2 – 8x + 16 – 1\)

\(– 4 = – 8x + 15\)

\(– 19 = – 8x\)

\(x = 19/8\)

İki çember denkleminin kesişim noktaları bu doğru üzerindeymiş

Şimdi bu doğrunun denklemini soldaki çemberle kesiştirip kesişim noktalarını bulalım.

\(y^2 + (19/8)^2 = 4\)

\(y^2 = 4 – (19/8)^2\)

\(y^2 = 4 – 361/64\)

\(y^2 = 256/64 – 361/64\)

\(y^2 = – 105/64\)

Bu denklemin de gerçel sayılarda çözümü yok. Demek ki iki çember kesişmiyormuş.

Bu çözümlerden yola çıkarak kendime yıllarca bazı şeyler sorup durdum. İtiraf edeyim bu konuları literatürde çok aratmadım ya da bu hayatımın problemidir diyip hayatımın kalanını buna adamayı düşünmedim. Akademiye girip bu alanda çalışmayı düşünmedim.

Çember denklemi o çemberin üzerindeki noktaları belirleyen matematiksel bir denklem olmalı. Yani düzlemde sırayla ya da rastgele noktalar seçersek buktaları bu denkleme koyarak o noktanın çemberin üzerinde olduğunu ya da olmadığını anlayabiliriz ve bu yöntem asla yanılmaz. İkinci bir çember denklemi daha aldığımızda yine aynı noktaları bu denkleme koyduğumuzda aynı noktaların bu çember üzerinde olup olmadığını da şüphesiz bulabiliriz. Genelde iki denklemi eşitlemekten beklentim çıkan denklemdeki noktaların başlangıçtaki iki denklemi de sağlaması olmasıdır ama en azından ikinci derece denklemlerde anlaşılan bu böyle olmuyor. Heralde genel olarak iki denklemi kabaca birbirine eşitlemek aynı anda bu iki denklemi sağlayan noktalar kümesini bulmak anlamına gelmiyor. Peki denklemleri eşitlemek ne anlama geliyor?

Belki de eşitlediğimizde bulduğumuz şeyler bu denklemleri bir başka şekilde sağlayan daha düşük dereceli matematiksel nesnelerdir. Mesela şöyle bir hayal kurayım. Varsayalım bir çember denklemi düzlemdeki bir doğru (herhangi bir tane ya da belki sonlu sayıda olabilir, şu an sadece doğaçlama yapıyorum) yardımıyla tanımlanabilsin. O zaman iki çember denklemi aldığımız zaman bunları eşitlediğimizde çıkan doğru bu iki çember denklemini de aynı anda tanımlayan (tabii ki her bir çemberin merkezine ve yarıçapına bağlı olan) doğru olabilir belki. Peki yukarıdaki örneklerde bulduğum doğru denklemlerinin anlamı neydi? Kısaca onlardan bahsedeyim.

Bu işlemleri görsel olarak geogebra ile hazırladım. Birinci örneğin linki burada. Burada Çıkan doğrunun üzerindeki herhangi bir G noktasından ve çemberlerin merkezlerinden geçen doğruları çizdiğimizde bu doğrular A çemberini H ve I noktalarında, B çemberini de J ve K noktalarında keserler. Şimdi GH ve GI doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına e, GJ ve GK doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına da i dersek, G noktasını çözüm doğrusu üzerinde kaydırdığımızda bu sayıların birbirine hep eşit olduklarını görürüz. Burada bahsettiğim çarpımlar lisede bir noktanın bir çembere olan kuvveti diye öğrendiğimiz terimdir. Yani kesişim doğrusu iki çembere de kuvvetleri eşit olan noktalar kümesiymiş.

Peki kesişmeyen iki çember için de bu kural geçerli mi? Yine geogebraya sordum (Matematiksel çıkarımı da zor değil aslında). Bu sefer örnekte bulduğum doğru üzerinde rastgele seçtiğim noktaya C dedim. Bu nokta ile A çemberinin merkezinden geçen doğrunun çemberi kestiği noktalara da D ve E dedim. Aynı şekilde B çemberi üzerindeki kesişim noktaları olarak da F ve G noktaları bulundu. Bu sefer CD ve CE doğru parçalarının uzunluklarının çarpımları, CF ve CG doğru parçalarının uzunlukları çarpımına eşit oldu. Bu da bir önceki örnekte bahsettiğim kuvvet formüllerine karşılık geliyor. Bu denemeyi de bu linkte kaydettim.

Aklıma gelen bir diğer soru da bu İki çemberin kesişmesinde ortaya çıkan doğrunun iki çemberin de ortak kuvvet doğrusu olması gözleminden çıkıyor. Bir çemberin aynı düzlemde verilen herhangi bir doğruya göre kullanışlı bir tanımı var mı? Bu tanımdan yola çıkarak kesişmeleri daha kolay anlaşılır hale getirebilir miyiz?

Bir matematikçi olmadığım için çok basit bir şeyi göremiyor olabilirim ama bu durumu anlamakta zorlanıyorum. Bir bilen bana doğru yolu gösterirse sevinirim. Bu anlayabileceğim bir şey mi yoksa her şey çenemi kapatıp hesaplamalara devam etmekten mi ibaret?

Üçgenin açıortayları (Geogebra)

Bu animasyonda geogebrada bir ABC üçgeni tanımladım ve her köşedeki iç açıortayları çizdirdim. Bu açıortaylar bir D noktasında kesiştiler. Üçgenin köşelerini hareket ettirip yeni üçgenler oluşturduğumda da açılar ve açıortayla değişse de her seferinde üçü de aynı noktada kesişmeye devam etti. İki doğrunun bir noktada kesişmesi çok normal ama belli bir özellikteki üç doğrunun her zaman aynı noktada kesişmesi bence ilginç bir durum. Bu noktanın başka bir özelliği var mı acaba?

Animasyon

Thales (Geogebra)

Çocuklar Thales teoremini öğrenirken bana nasıl oluyor diye sormuşlardı. Ben de lisede öğrendiğim gibi paralel doğrular, üçgenler beklerken birden karşıma çember çıkarmışlardı. Meğer Thales teoremi dedikleri bir çember üzerinde çizilen bir üçgenin bir kenarı çemberin bir çapıysa o üçgen diküçgendir teoremiymiş. Tabii ki ben bununla aynı anlama gelen bir çemberinin üzerinde çemberin bir çapını gören açı dikaçıdır teoremi biliyordum ama bunu Thales adıyla hatırlamıyordum.

Bu sefer de geogebrada bu teoremin animasyonunu yapmaya çalıştım. Kaydırma bileşeniyle çember üzerindeki C noktası kaydırılabiliyor ve her pozisyonda C açısının değeri ölçülüyor. Bu açının her zaman 90 derece olması teoremin de söylediği şeyin gözlemi oluyor.

Açıortay (Geogebra)

Bu animasyonda açıortaylarla oynamaya karar verdim. Yani verilen bir EAF açısını iki eşit açıya bölen AD doğrusunu çizdirdim. Daha sonra bu açıortay üzerinde bir D noktası aldım ve bu noktadan açının kolları üzerine düşen dikey DF ve DE doğrularını çizdirdim. Ardından geogebra’ya DE ve DF doğru parçalarının uzunluğunu ölçtürdüm. Ardından da bu D noktasını bir kaydırma bileşeniyle hareket ettirdim. Her yeni D noktası için geogebra DE ve DF uzunluklarını ölçüyor ve bu uzunluklar hep birbirine eşit oluyor. Bu deneyin hedefi de bunu göstermekti.

Bunu geometrik olarak görmek de kolay. ADE ve ADF diküçgenleri birbirine eşit olduklarından bu diker doğru parçalarının da uzunlukları birbirine eşit olmalıdır.

Komşu bütünler açılar

Noel tatilinde Geogebra ile oynamaya devam ettim. Bir şeyi öğrenirken görsel ya da deneysel yaklaşım benim sıkça kullandığım bir yöntemdir. Bana uygun olması başkasına da uygun olacak demek değil ama. Bazı insanlar soyut kavramlarla çok rahat çalışırken de deneyler de çok başarısız olabiliyor. Bu yazıdaki animasyonda geometrideki çok temel bir konuyu görsel bir hale getirip bu görselliğin gerçekten işe yarayıp yaramadığına da bu deneyle bir bakmak istiyorum.

Bu basit animasyonda bütünler açılara bakacağım. Aslında geometrik bir konuyu görsel hale getirmek ne kadar gerekli ya da avantaj sağlar sorusu da sorulabilir öncelikle. Geometri zaten oldukça görsel bir alan değil mi? Elbette öyle ama geogebra ile çok kısa sürede çok fazla deney yapmak mümkün. Bu deneylerde belki dikkatimizi çekecek sonuçlar ya da davranışlar görebiliriz.

Animasyonda açı isimli kaydırma bileşenini kaydırdığımızda doğru C noktası etrafında o açı kadar döndürülüyor ve C noktası etrafında \(\alpha \) ve \(\beta \) açıları oluşuyor. Bu açıların büyüklükleri geogebra tarafından “ölçülüyor”. Aslında hesaplanıyor tabii ki ama bu animasyonda geogebranın rolü bu deneyde bizim iletki ile yapacağımız ölçüm işini yapmak olacak. Bu sayede deneyler hızlanacak.

Animasyona bir de \(\delta = \alpha + \beta \) hesaplamasini ekledim. Bu da bu deneyde aslında dikkatimizi çekmesi gereken özellik. Açı değerini değiştirdikçe bu toplamın değişmediğini görmemiz lazım. Bu özellik ayrıca bütünler açı kavramının da kendisi oluyor.

“Eğer birbirinin bütünleri olan iki açı komşu ise (yani köşeleri ve bir kolları ortak) ortak olmayan kolları bir doğrudur” (wikipedia)

Buraya kadar her şey normal gözüküyor ama ufak bir iki nokta daha var. Örneğin geogebra’nın bu açıları ölçmesine güvenebilir miyiz? Tabii ki yukarıda da dediğim gibi geogebra bu açıları ölçmüyor, hesaplıyor. Öğrenme aşamasındaki bir kişi için bu yeterince güvenilir olacak mı acaba? Peki aynı şekilde bu deneyleri kağıt, kalem ve iletkiyle yapsaydık bu sefer iletkiye güvenecek miydik? O da çok duyarlı ölçümler yapamıyor. Zaten çizdiğimiz doğrular da matematikteki doğru tanımına uyan nesneler değil.

Aslında bu soruyu soyut bir şekilde işlemek büyük ihtimalle çok daha basit bir öğrenme yöntemi ama yine de herkes aynı şekilde aynı kolaylıkla öğrenecek diye bir şart yok. Belki de bu durumda deneysel ve güven tabanlı öğrenmeyi yeğleyecek insanlar vardır. Geogebra bu tür insanlar için oldukça iyi bir araç.

Bu programdan sanırım ilk geçen yıl haberdar olmuştum. Bazı bilmecelerin çözümündeki şekilleri çizmek için kullanmıştım yanlış hatırlamıyorsam. Geçenlerde youtube’da ODTÜ’den Cem Tezer’in çok güzel geometri dersi videolarının birinde bu programdan bahsedince bir daha bakayım dedim. www.geogebra.org adresinden ulaşılıp bedava kullanabilen bir program. Ayrıca programı yüklemeye de gerek yok, tarayıcının içinde doğrudan çalışıyor.

Bu programın sevdiğim tarafı şu oldu. Matematiğin bazı alanlarını çok güzel görselleştiriyor. İyi de matematiği görselleştiren programlar zaten vardı diyebilirsiniz. Bunun farkı nerede peki?

Bunun farkı programda temel nesnelerin basit ilişkiler şeklinde tanımlanabilmesi ve daha sonra şekil üzerinde bu nesneleri hareket ettirirken programın nesnelerin aralarındaki ilişkileri korumaya devam etmesi. Örneğin, tanımlanmış bir fonksiyon üzerinde bir A noktası tanımladığımız zaman program bu noktanın o fonksiyon üzerinde olduğunu biliyor artık. Böylece o noktayı hareket ettirdiğimizde nokta her zaman o fonksiyon üzerinde kalıyor. Bir adım daha ileri gidip o noktadan geçen ve o fonksiyona teğet bir doğru çizdiğimizde program bu teğetlik özelliğini de hatırlıyor ve noktanın her yeni konumu için o konumdaki teğeti çiziyor.

Bu animasyonda yukarıda bahsettiğim örneği programladım. Programlamak da sayılmaz aslında, bir kaç komutla yapılan bir iş. “a” isimli kaydırma bileşeniyle P noktasını fonksiyon üzerinde kaydırıyorum, yani P noktasının x koordinatını a bileşeninden y koordinatını da daha önce tanımladığım fonksiyondan alıyorum. Noktanın her konumu için o noktadaki teğet de çiziliyor. Ayrıca ekranın sağında bu teğetin fonksiyonu ve eğimi de gösteriliyor. Eğimi takip edersek minimum ve maksimum noktalarda değerinin 0 olduğunu, ne zaman arttığını, ne zaman azaldığını görebiliyoruz. Bu şekilde belki orta öğretimde türevi ve minimum maximum noktaları hesapları öğrenirken görsel bir destek olarak kullanılabilir. Sizi bilmem ama ben bununla arada sırada oynamayı düşünüyorum. Ümit henüz buna çok ilgi göstermese de elbet işe yarayacağı günlerin geleceğine inanıyorum.