Toplama bilmecesi (Çözüm)

Soru

Bu sorunun çözümlerini deneme yanılma yaparak buldum.

10 rakamı silip 0 yazarak 1111 toplamına ulaşmak

  0 0 1 
  0 0 0 
  0 5 0 
  0 7 0 
  9 9 0
  _____
1 1 1 1

9 rakamı silip 0 yazarak 1111 toplamına ulaşmak

  1 0 0
  0 0 0
  0 0 5
  0 0 7
  9 9 9
________
1 1 1 1

8 rakamı silip 0 yazarak 1111 toplamına ulaşmak

  1 0 1 
  0 0 3 
  0 3 0 
  0 7 7 
  9 0 0
_______
1 1 1 1

7 rakamı silip 0 yazarak 1111 toplamına ulaşmak

 0 1 0
 3 3 0
 0 5 5
 7 0 7
 0 0 9
_______
1 1 1 1

 

6 rakamı silip 0 yazarak 1111 toplamına ulaşmak

  1 0 0
  3 3 0
  5 0 5
  0 7 7
  0 9 9
_______
1 1 1 1

 

5 rakamı silip 0 yazarak 1111 toplamına ulaşmak

  1 1 1
  3 3 3
  5 0 0
  0 7 7
  0 9 0
_______
1 1 1 1

 

Her sorun yazılım hatası değildir

Nereden kaynaklanıyor bilmiyorum ama insanlarda her sorunun yazılım hatası olduğu şeklinde bir önyargı oluşumuş durumda. Yazılımcılar arasında bile. İtiraf edeyim, donanım sorunlarını yazılımla çözmeye çalışanların (ya da bunu yapmaya zorlananların), hatta bunu başaranların(?) olduğu bir yerde çalışıyorum. Burada donanımdan kastım, yazılım olmayan her şey. Yani fizik kuralları da dahil. Bir simülasyon içinde yaşadığımızı ileri süren bilim insanlarının savları ispatlanana kadar fiziği de donanım sınıfında düşüneceğim. Belki de bu tür hatalı çözümleri çok tekrarlayınca bir süre sonra aradaki farkı göremiyoruz. Burnumuzun ya da beynimizin otuz saniye içinde iğrenç kokulara alışabilmesi gibi.

Yıllar önce röntgen cihazları projesine başladığımızda makinede testler yapan yazılımcı bir arkadaş test merkezinden telefon edip kullanıcı arabiriminde bir hata olduğunu söylemişti. Nedir diye sorduğumuzda da kullanıcı adını girerken harflerin kendiliğinden silindiğini söyledi. Kahkahalarımızın geçmesinden sonra elemana klavyenin geri silme tuşunun üzerinde kim oturuyorsa onu kaldırmasını söyledik ama yanılmışız. Klavyenin üzerinde sadece bir defter varmış, kaldırınca program birden normal çalışmaya başladı.

Dün de yine aynı eleman başka bir programı kullanırken bir problemle karşılaşınca o programı yapan arkadaşı çağırdı ve durumu anlattı. Sayfadaki listeyi fare ile aşağı doğru kaydırırken sorun yoktu ama yukarı doğru kaydırırken sayfa aynı zamanda sağa da kayıyordu ve listenin solundaki bilgileri göremiyordu. Bu da tabii ki rahatsız ediciydi. Programı yapan arkadaş da refleks olarak kafasını kaşıyarak sorunun nerede olabileceğini düşünmeye başladı. Ben de arkadaşın fareyi nasıl kullandığına bakıyordum ki sorunu gördüm.

“Sorun senin ince motor becerilerinde”

“Nasıl yani?”

“Fareyi nasıl tuttuğuna ve işaret parmağını nasıl hareket ettirdiğine dikkat ettin mi?”

“Her zamanki gibi, işte böyle.”

Bunun üzerine fareyi aldım ve üzerindeki küçük tekerleği sağa ve sola hareket ettirdim. Sayfa  da sağa ve sola kaydı. Sonra da anlatmaya başladım.

“Fareyle sayfayı aşağı doğru kaydırırken parmağını sadece aşağı değil aynı zamanda az da olsa sola da hareket ettiriyorsun. Bu da farenin küçük tekerleğini sola doğru hareket ettiriyor. Sayfayı da önceden en sola kaydırdığından sayfa daha fazla sola kayamıyor ve her şey normal gözüküyor. Yukarı kaydırırken de parmağını aynı şekilde hatalı hareket ettiriyorsun. Bu sefer farenin tekeri soldan sağa doğru hareket ediyor ve sayfa sağa doğru kayıyor.”

Problemleri kontrolsüzce yazılımla çözmemiz sanırım bizi çevremize ve hatta kendimize karşı körleştiriyor. Yani yaptığımız bu hata sadece bir yazılım sorununa dönüşmüyor, tekrarladıkça bizi de bozuyor.

Tren gelir hoş gelir (bazen)

Almanya’ya doksanların sonunda geldiğimde trenler çok dakikti. Sadece şehirler arası hızlı trenler de değil, en ücra yerlerdeki banliyö trenleri bile. Trenlerdeki bir sonraki durağı gösteren elektronik tabelaları gördüğümde gözlerim yaşarmıştı. Hatta bunlar otobüslerde bile vardı. Türkiye’den alışık olmadığım güvenlik saplantıları da vardı.Neymiş efendim? Tren hareket halindeyken kapılar açılamazmış. Kapılar kapanmadan tren hareket edemezmiş. Durağa gelmeden de kapıları açma mümkün değilmiş. Bunların hepsi merkezi sistem tarafından kontrol ediliyor ve buna rağmen trenlerin dakik olması ilginç geldi. Bir kişi bile mi zevk için o kapıyı beş dakika açık tutup trenin hareketini engellemeyi denmemiş yani?

Zamanla teknoloji ilerledikçe bu trendeki tabelalara inişin hangi kapıdan yapılacağı ve sonraki duraklara hangi saatte ulaşılacağı bilgileri de eklendi. Daha önceden sadece bütün hatların duraklarıyla beraber gösterildiği krokiler vardı.

Zamanla sisteme hem yerel hem de uzak mesafe olmak üzere daha çok sefer eklendi. Bu kadar planlı ve güvenli bir sistem sonunda dakiklikten feda etmek zorunda kaldı ama plandan asla vaz geçilmedi.

Sabahları işe giderken 7:08 trenine biniyordum. Yılda iki defa değişen planlara (Bu arada planların değişeceği tarihler de belli bir plana sahiptir yani her planın hangi tarihe kadar geçerli olacağı sol üst köşede yazar) göre bu trenin saati bazen bir dakika öne bazen de bir dakika geri alınıyordu ama bu tren hep vardı. Tek sorun şuydu. O saatlerde şehirlerarası bir hızlı tren bu duraktan durmadan geçiyordu ve önceliği vardı ve uzun mesafe yolculuk yaptığından hemen hemen her gün gecikmeli geliyordu.  Bu yüzden benim bineceğim tren de her beş iş gününün dördünde beş dakika geç geliyordu. Almanlar ise bu duraktaki gecikmeyi basit bir plan değişikliğiyle (7:08 yerine 7:13 yazarak) çözmek yerine bu gecikmeyi kabul etme yolunu seçtiler. Aslında biraz düşününce bu inat mantıklı da geliyor. O trenin o seferinde hatta otuz durak varsa gecikme sadece son beş durakta meydana geliyor. Eğer treni baştan beri beş dakika geç hareket ettirirlerse bu sefer diğer hatlarla çakışmalar daha çok olacak ve belki de kelebek etkisi sayesinde aynı şehirlerarası hızlı tren daha çok gecikecek ve biz onu daha çok bekleyeceğiz.

Başka garip bir olay da dün başıma geldi. Kaiserslautern istasyonuna geldim ve bineceğim tren 18:32’de hareket edecek. Beklemeye başladım. Önce tren birkaç dakika geç gelecek anonsu yapıldı. Sonra bu gecikme onbeş dakikaya çıktı ve birkaç dakika sonra da yirmibeş dakika şeklinde düzeltildi. Plana göre bir sonraki tren 18:58’de hareket edecekti. Yani yirmibeş dakika rötarla benim bineceğim tren bir sonraki trenle hemen hemen aynı olacaktı. Aynı anda aynı istikamete iki tren birden göndermezler, birini iptal ederler diye düşündüm. Sonra tren geldi bindim. Hareket etmedik ama. O sırada telefonda konuşan bir Türk kadın da “aaa, yanlış trene binmişim. Bu tren 18:58’de kalkıyormuş.” deyince olayı anladım. Benim bindiğim tren geç kalan 18:32 treni değil, erken gelen 18:58 treniymiş. “Aman işte, bir dakikanın hesabı mı olur?” diyerek oturmaya devam ettim. Bu sırada kontrolör geldi. Normalde sadece hareket halinde görünen (tren hareket halindeyken kaçma şansı yok, kapılar kilitli ve biletsiz yolculuğun cezası da 60 €) bu meslek grubunun şimdiden gelmesi hayra alamet değildi. Herkese nereye gideceğini soruyordu. Verilen cevaba göre ya “tamam” diyordu ya da “geciken trenle gitmeniz iyi olur” diyordu. Bana da diğer trene geçmemi önerdi ve burada edindiğim tecrübelere dayanarak Alman uyarılarına (tabela da olsa, görevliden de gelse) uyacaksın kuralına sadık kalıp indim ve diğer treni beklemeye başladım. Yalnız beklediğimiz peronda bir sonraki trenin hareket saati olarak 19:31 yazıyordu. Bir terslik vardı. Son anda bir makinistin işaretiyle anladık ki geciken tren başka bir perona gelecekmiş. Hatta geliyordu. Koşarak diğer perona gittik, trene bindik ve beş dakika erken yola çıktık. O anda diğer kontrolörün insanları neden diğer trene geçirdiğini de anladım. Birincisi iki tren de farklı hedeflere gidiyordu. Yani hatlarının çoğu aynıydı ama biri daha uzağa gidecekti. Buraya gidecek yolcuların doğru trende olması gerekiyor tabii ki. Bir de benim gibi kısa mesafe gideceklerin daha erken hareket edecek trenle seyahat etmesi daha mantıklıydı ve anlaşılan geciken trenin daha önce hareket edeceğini biliyordu. Bu durumda kontrolöre inanmayıp trene geri dönen Türk kadın kaybetmiş, ben de kazançlı çıkmış oldum.

Bir başka plana sadakat örneğini de bir ay önce yaşadım. Briç turnuvasında çıkıp istasyona geldim. Trenim 22:30’da hareket edecek ve tabelaya göre tam zamanında gelecekti. Karşı perondaki tabelada ise aynı hattan ama karşı istikametten gelen trenin hattaki teknik sorunlar nedeniyle bir saat geç geleceği yazıyordu. Düşünmeye başladım. Teknik arıza gideceğim yönde olmalıydı. Demek ki trenim, önümüzdeki fırtınaya doğru zamanında yelken açacaktı. Eğer önümdeki beş duraklık hattaysa sorun var demektir. Ondan sonrası beni ilgilendirmez, eve varmış olurdum nasıl olsa. Ne kadar yanlış düşündüğümü daha ilk durağa gelmeden anladım. Arıza altıncı duraktaydı. Bu iyi haberdi ama bu arıza oluştuktan sonra gideceğim yöne doğru başka trenler de yola çıkmıştı ve önümdeki beş duraklık yol bekleyen trenlerle doluydu. Bu şekilde yarım saatlik mesafeyi iki saatte gitmeyi başardık.

Böyle giderse Alman raylı sistemi bana zorla da olsa sadece küçük ölçekte değil, büyük ölçekte düşünmeyi ve anlamayı da öğretecek.

96 Hours

Dün evde televizyonu yalnız bulmuşken bir fim seyredeyim dedim. Hangi film ama? Seçim işi öyle kolay değil. Hayır, kalite filan sorun değil. Asıl olay filmin süresi. Çocuklar gelene kadar bitmesi lazım, yoksa televizyon hakkımı kaybedeceğim. Filme ara verince de devamını bir daha ne zaman seyredebilirim bilinmez. Amazon prime üyeliğinden parasız bir aksiyon filmi aramaya başladım.

96 Hours – Taken 2. Daha birincisini bile seyretmemişim ama listede daha ön sırada. Ev halkı gelmeden ne kadarını seyretsem kardır diye buna başladım. Zaman geçirmek için eğlencelik bir aksiyon filminden daha fazla bir beklentim de olmadığından her şey iyi gidiyordu. Kötü adamlar kahramanımızın ailesini kaçırmasından sonra İstanbul sokaklarında arabalı kovalamaca sahneleri başlayınca bende de bir rahatsızlık başladı. Rahatsızlığın nedeni bu kovalamacanın İstanbul’da geçmesinin filmi aksiyon sınıfından alıp gerçeküstü listelerine sokması değildi. Daha çok, bu tür aksiyon sahneleri Berlin’de ya da Paris’te geçince aynı gerçeküstü rahatsızlığı hisseden Almanlarla ve Fransızlarla ancak şimdi duygudaşlık kurabilmiş olmamdı. Basit bir aksiyon filmi seyircilere ve filmin mekanına bağlı olarak aynı anda birden fazla tarza sahip olabiliyordu. Schrödinger’in aksiyon filmi.

Bu gerçeküstü filmlerin senaryo yazarları bunu kasıtlı yapıyor olmalı. Merak ettiğim şey ise bu mekan seçimlerinin izleyici zevkleriyle bağıntılı olup olmadığı. Yani eğer büyük veri sayesinde bir ülke insanlarının gerçeküstü filmlere eğilim göstermeye başladığı görülürse hemen o ülkenin en kötü trafiğine sahip şehrinde bir aksiyon filmi çekilmeli diye planlar yapan pazarlamacılar var mı acaba?

Gerçeküstü akımında izlenen yol da ilginç. Eskiden son model ya da bilim kurgu araçlarla bu kovalamacalar yapılırken, son zamanlarda oldukça normal arabalar kullanılmaya başlandı. Hatta seyrettiğim filmde olay kahramanı bir sarı taksiydi. Yani çıtayı yükseltip üzerinden atlamayı zorlaştırmak artık geçmişte kaldı. Artık izlenen yol çıtayı altından geçilemeyecek kadar alçaltmak ama gördüğüm kadarıyla bu işi de amatörlere veriyorlar.

Bu alanda gördüğüm en iyi senaryo babam tarafından yazılmış ve bizim tarafımızdan da oynanmıştı. Kardeşimin nikahı için Bostancı’ya gidilecekti. Diğer şehirlerden gelen akrabalar Kartal’daki evimizde toplanmaya başladılar. On araba insan. Hiçbiri Bostancı nikah salonunun nerede olduğunu bilmiyordu ama hepsi de iyimserdi. Babam ise planından emindi. Benim gibi kötümser olanların ikna çabaları işe yaramayınca babam akraba topluluğunun karşısına çıktı ve senaryo görüşüldü.

“Kenan abi, nikah salonuna nasıl gideceğiz?”

“Merak etmeyin, hepiniz beni takip edeceksiniz.”

“Abi ya kaybolursak? Bari kabaca anlat, navigasyonumuz filan da yok ki.”

“Benim araba şuradaki, onu takip edin yeter.”

“Peki abi”

“Şu saatte yol çıkacağız, şu sırayla takip edeceksiniz beni, nikah şu saatte”

“Baba, biraz daha erken çıksak? Ne olur ne olmaz yani.”

“Gerek yok, erkenden gidip orada saatlerce beklemeye gerek yok. Rahat rahat yetişiriz.”

Sonunda şu saat geldi ve kontaklar çalıştırıldı. En öndeki arabada, bana verilmiş bir görevin olmamasının verdiği rahatlıkla kötümserliğimin keyfini çıkarmaya hazır bir şekilde ön koltukta oturuyordum.  Yavaş yavaş ilerlemeye başladık, konvoy da takipteydi. üçyüz metre kadar sonra kavşaktaki trafik ışıklarını geçtik. Yani sadece benim içinde olduğum araba geçti. Hemen sonra kırmızı yandığından diğer araçlar beklemeye başladı. Babam da biraz ilerde yolun ortasında beklemeye başladı. Bu sırada arkamıza gelen ve senaryodan haberi olmayan yabancı araçlar bizim bu hareketimizi beklemeyen yabancı araçlar da yine yabancı kornalarıyla bize sorunumuzun düşündüğümüzden daha büyük olduğunu hatırlatmaya çalışıyorlardı. Direnmenin pek işe yaramayacağına kanaat getiren babamın “lanet olsun” (‘Fuck you’ değil, bildiğimiz lanet olsun) komutuyla kendimizi akıntıya yavaş da olsa bıraktık. Bu sırada senaryoda yazılı olmayan ilk görevimi de aldım. Konvoyumuzun bizi hala takip edip etmediğini kontrol edecektim.

“Kırmızı ışıkta bekliyorlar baba. Hala görüyorum.”

Hemen sonra bizi daha hızlı gitmek için teşvik etmeye çalışan öfke selinin de etkisiyle sağa döndük ve konvoyu geriye doğru takip imkanım da görevim de bitti. Aynı anda babam senaryonun devamını anlatmaya başladı.

“Lanet olsun! (Yine ‘fuck you’ değil. Düşündüm de babamın küfür ettiğini hiç hatırlamam) Bunlar İstanbul’da yol filan bilmezler, kaybolurlar. En iyisi ben onları bulayım.”

“Baba, onları ararken nikahı kaçıracağız. Bence biz salona gidelim. Bizi kaybettiklerini gördüler. Durup yolu birilerine sorarlar.”

“Hayır, ben onları toplarım, merak etmeyin.”

Ben daha planladığım itirazları sunmaya fırsat bulamadan kovalamaca sahnemiz başladı.

“Yine sağa dönersem geldiğimiz yöne doğru gideriz. Lanet olası tek yön sokaklar. Yılmaz, sen etrafa bak, arabaları görürsen topla.”

Akrabalarımın bile yüzünü hatırlayamayan ben (bu da ayrı bir hikayenin konusudur) hayatımda görmediğim arabaları tanıyacaktım. Tabii ki bu durumda yapılacak en mantıklı şeyi yaptım.

“Tamam baba.”

Sağa döndük. Hızlanmaya başladık. Demin bizi geçmek için kornaya basan arabalara korna çalmaya başladık. Tabii ki hiçbirini geçemiyorduk ama şansımıza hiçbiri durup olay çıkarmadı.Birden aklıma sabah kardeşimin “evlilik hazırlıkları nasıl gidiyor?” soruma verdiği cevap geldi.

“Oğlum koşturmaktan öldüm ya. Hayır, beşbin lira daha vereyim, adam tutayım da benim yerime o evlensin.”

Sabah güldüğüm bu cevap o an çok mantıklı gelmeye başladı. Hatta beşbinin yarısını verebilirdim. Kavşağa döndüğümüzde tabii ki Nemolar çoktan kaybolmuştu.

“Lanet olsun! Şuradan gitmişlerdir heralde. Dur bulayım şunları. Siz de bakmaya devam edin, görürseniz haber verin”

“Tamam baba”

Sanırım sonraki bir saat Bostancı’ya kadar olan bütün yollardan ikişer kez geçtik. Sonunda karşı istikametten gelen Kocaeli plakalı bir araç gördük. Daha da yaklaşınca aslında senaryoya göre arkamızda olması gereken bir araç olduğunu anladık ve işaret parmağımı havaya kaldırıp saat yönünün tersi istikamette iki kere çevirerek “Az ilerde döner kavşak var. Hayır, size göre az ileride, bizim arkamızda kaldı. Oradan dönüp bizi takip etmeye devam edin” işareti yaptım. Bir saat içinde yüzde onluk başarı babamın da hoşuna gitmemiş olacak ki senaryoda bir değişiklik daha yaptı.

“Lanet olsun. Nikah salonuna doğru devam edelim, diğerlerini bulamayacağız galiba, bari geç kalmayalım.”

“Tamam baba”

Nikah salonuna 50 metre kala kayıp arabalar mucizevi bir zamanlama ve mekanlamayla değişik yönlerden gelip arkamıza geçtiler. Araçları park ettikten sonra sahne sonrası görüşmesine geçtik.

“Neden beni takip etmediniz ki?”

“İyi de Kenan, kırmızı ışık yandı, bekledik.”

“Planımız o değildi ki, beni takip edecektiniz. Bİr dinlemediniz beni!”

Toplama bilmecesi

Bu soru Kordemsky’nin The Moscow Puzzles kitabından alınmıştır.

Ali, Ayie’ye aşağıdaki sayıların olduğu bir kağıt veriyor ve aralarında şöyle bir konuşma geçiyor.

1 1 1
3 3 3
5 5 5
7 7 7
9 9 9

Ali: Bu rakamlardan 12 tanesinin yerine 0 yazacaksın ve kalan sayıları toplayınca 20 sayısını bulacaksın.

Ayşe: Aaaa, kolaymış.

0 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 9
_____
  2 0

Ayşe: Peki sen şimdi bu rakamların 10 tanesinin yerine 0 yazıp 1111 toplamını bul bakalım.

Biraz düşündükten sonra Ali de bu soruyu çözer.

Ali: Güzel soruydu ama 9 rakamın yerine 0 yazınca da toplam 1111 oluyor.

Ayşe: Gerçekten de, hatta 8, 7, 6 ve 5 rakamın yerine 0 yazınca da 1111 çıkıyor.

 

Bu işlemleri bulabilir misiniz?

Sayıları bulun (Çözüm)

Soru

Bu soruyu yapmanın en doğrudan ama zahmetli yolu tabii ki sayıları tek tek denemek olacaktır. Tembel olduğum için bu yolu seçmeyeceğim. Uzun kaybolmalardan sonra klasik tablo yöntemiyle bulduğum çözüm şöyle:

[table id=19 /]

Bu tablo 1. ifadeden sonra ortaya çıkan durum. Her ifade tablodaki bazı seçeneklere eleyecektir. Bu elemeyi yaparken sadece kalan satırlardaki bazi olasılıkların kaç kere olduğuna bakacağız. Eğer tek ihtimal kaldıysa ve oyuncu sayıları bilmiyorum diyorsa bu ihtimal olamaz demektir, çünkü bilemiyorsa o varsayım için birden fazla olasılık var demektir.

Ali’nin ilk ifadesi ile sadece bir kere bulunan toplamların olduğu hücreleri silebiliriz. Bunun için üçüncü ve beşinci sütunlara bakıyoruz. 8, 9, 10 ve 15 toplamları tabloda sadece birer kez bulunduğundan bu toplamların olduğu hücreleri silebiliriz. Eğer toplam bunlardan biri olsaydı Ali sayıları hemen bulacaktı.

[table id=23 /]

Ayşe’nin bilmiyorum cevabı da tek seçenek kalmış kare toplamları satırlarını silecektir. Bunlar da karelerin toplamı 65 ve 125 olan durumlardır. Eğer Ayşe’nin sayısı bunlardan biri olsaydı Ayşe tabii ki bu turda sayıları bulabilecekti.

[table id=24 /]

Ali bu sefer sadece toplamın 11 olduğu durumda sayıları bilebilecekti, çünkü sadece bir kere bulunan tek sayı o. Sayıları bilemediğine göre bu ihtimali de sileceğiz.

[table id=25 /]

Ayşe bu sefer de bilemediğine göre tek ihtimali kalan 85 satırını da silelim.

[table id=26 /]

Ali’nin cevabı 13 toplamının da olamayacağını gösteriyor. Bu ihtimali de silersek son pozisyona ulaşmış oluruz.

[table id=27 /]

Bu pozisyonda Ayşe’nin bilebilmesi için karelerin toplamının 145 olması gerekiyor ve bunun için de kalan tek ihtimal sayıların 8 ve 9 olması. Tabii ki tablomuzun normalde sonsuz tane satırdan oluşması nedeniyle bu cevabın tek olup olmadığına da bakmamız lazım. Belki bu mantıkla tabloda göremediğimiz daha alt satırların birinde de tek bir ihtimalli bir satır olabilir.

Bu çözümün tek olduğunu göstermek için tablodaki her toplam sayısının (üçüncü ve beşinci sütun) tabloda en az iki kere bulunduğunu göstermemiz yeterli. Burada küçük bir uyarı da yapayım. Tabloda her satırda sadece iki ihtimal varmış gibi gösterdim ama bazı toplamlar tabii ki iki kare toplamı olarak çok daha fazla değişik şekilde yazılabilir. Örneğin 325 toplamı üç değişik şekilde yazılabilir.

Aşağıdaki ispatın ana fikrini Mathematics Magazine Mayıs 1983 sayısından aldım.

Şu özdeşliği ele alalım:

\((a+2b)^2+(2a-b)^2=(a-2b)^2+(2a+b)^2 \)

\(b\in{\{1, 2, 3\}} \)

Eşitliğin solundaki sayıların toplamı

\((a+2b)+(2a-b)=3a+b \) değerini verir. Yani bütün sayıları bu şekilde gösterebiliriz. Yani a sayısı altıdan büyük seçildikçe yukarıdaki eşitliğe göre her zaman iki değişik şekilde aynı kare toplamını veren sayılar bulunabilir. Bizim aradığımız ise aynı toplamın farklı kare toplamlarında kullanılması. Bunu da göstermek kolay. Eşitliğin sağ tarafındaki sayılar da \((a-2b)+(2a+b)=3a-b \) toplamını verir. Bu da bütün sayıları üretmek için kullanılabilir.Yapacağımız işlem ana hatlarıyla şöyle: Önce herhangi bir sayıyı eşitliğin sol tarafından ürettiğimiz toplam gibi yazacağız. Bu şekildeki bir sayı için en az iki partisyonun aynı kare toplamını verdiğini özdeşlikten biliyoruz. Sonra aynı toplamı veren eşitliğin sağından ürettiğimiz toplam ifadesini kullanarak farklı bir partisyonun da aynı özellikte kare toplamları ürettiğini göreceğiz. Böylece tablomuzda yazılı olmayan satırlarda mevcut olan her toplamın tabloda en az iki kere bulunduğunu göstereceğiz.

22’den büyük sayılar için aşağıdaki işlemleri yapabiliriz. Önce neden 22? Yukarıda b için bazı ön şartlar belirledik, yani b sayısı 1, 2 ya da üç olabilir ve özdeşlikteki terimlerden biri a-2b. Bu sayıların pozitif olabilmesi için a-2b sayısının sıfırdan büyük olması lazım. b sayısı da en fazla 3 olduğundan a – 6 sıfırdan büyük olmalı. Yani a altıdan büyük olmalı, en az 7 olabilir. 3a+b sayısı da bu durumda en az 22 olur.

b sayısı için yöntemi iki parçaya ayıracağım.

1) b = 1 ya da b = 2

3a+b şeklinde (yani 3a+1 ya da 3a+2) şeklinde yazılabilen bir toplamı alalım. Bu sayıyı a+2b ve 2a-b şeklinde iki sayıya ayırabiliriz ve yukarıda bu sayıların karelerinin toplamı için aynı kare toplamını veren ve bu sayılardan farklı bir başka sayı çifti olduğunu gördük. Şimdi aynı toplamı veren 3(a+1) – (3-b) teriminden yol çıkalım. Dikkat edersek bu terim yukarıda kullandığımız özdeşliğin sağ tarafındaki sayılardan elde edilmiş bir toplam formunda ( (a-2b) + (2a+b) = 3a-b ). b, 1 ya da 2 olduğundan 3-b de 1 ya da iki olur. Buradan da a+1 – 2(3-b) =a+2b-5 ve 2(a+1) + (3-b) =2a-b+5 sayılarını buluruz. Bu sayıların karelerini topladığımızda da en az iki değişik şekilde iki kare toplamı olarak yazılabilen bir sayı buluruz. Belki bir örnek ile görmek daha kolay olur.

Örnek: Sayımız 22 olsun. 22 = 3a+b ise a = 7, b = 1.
İlk çiftimizi a+2b=9 ve 2a-b=13 şeklinde hesaplayalım.
Bu sayıların karelerinin toplamı 81+169=250. 
Aynı zamanda 250 = 225 + 25 olduğundan bu partisyon istediğimiz 
şartı sağlıyor. 
İkinci partisyonu da şöyle buluyoruz. a+2b-5=4 ve 2a-b+5=18 sayılarını
hesaplıyoruz. Karelerinin toplamı 16+324=340.
340 = 144 + 196 olduğundan şartımız yeniden sağlanmış oluyor.

Burada dikkat etmemiz gereken şey bu yöntemle olası bütün partisyonları bulmuyoruz. İspatımız için iki tane bulmamız yettiğinden sadece ikisini buluyoruz.

2) b = 3

Bu sefer 3a +3 şeklinde yazılan bir toplam alıyoruz, yani üçe bölünebilen bir toplam. İlk partisyonumuzu yukarıdaki gibi a + 6 ve 2a – 3 şeklinde hesaplıyoruz. Özdeşlikten istediğimiz özellikte kareler toplamını bulabileceğimizi biliyoruz. Şimdi diğer partisyon için 3(a+2)-3 teriminden yol çıkıp (a+2)-6=a-4 ve 2(a+2)+3=2a+7 sayılarını bulalım. Bu sayıları da özdeşliğin sağ tarafındaki terimleri kullanarak bulduk. Toplamlar yine 3a+3 ve özdeşliğe göre bu kare toplamını veren en az bir tane daha tam kare çifti var.

Örnek: 24 sayısını alalım. 3a+3 olduğuna göre a =7, b = 3.
İlk partisyon için sayılarımız a+2b=7+6=13 ve 2a-b=14-3=11.
Karelerin toplamı = 169 + 121 = 290
290 = 1 + 289 da diğer bir kareler toplamı.
İkinci partisyon için sayılarımız da: a-4 = 3 ve 2a+7=21 olur.
Karelerin toplamı 9 + 441 = 450.
450 = 225 + 225 de başka bir kareler toplamıdır.

Böylece tablonun alt taraflarında olabilecek bir toplamın en az iki kere daha tabloda bulunacağını göstermiş olduk. Yani yukarıda bulduğumuz 8 ve 9 sayıları bu konuşmadan yola çıkarak bulunabilecek tek çözümdür.

Unutmadan toplam 22’den küçükse yukarıdaki özdeşliğe gerek yok ama bunlar için de elimizdeki tabloya bakıp o sayıların da en az iki kere son tabloda olduğunu sayarak görebiliriz.

Bu soruyu çözmeye başlarken yine ifadeleri cebirsel olarak yazabilir miyim diye deneme yapmıştım. İlk iki ifadeden sonra ortalık çok karıştığından bunu bıraktım ve tablo yöntemine döndüm. Tablo yöntemi son ispat dışında oldukça kolaydı. İspatı da çözüm doğru mu diye ararken şans eseri buldum. Cebirsel çözümle uğraşırken başka bir iki şspat daha yaptım, bunları da burada vereyim de o kadar yanlış yolda gezintilerim boşa gitmesin.

Toplamları aynı olan ikili partisyonların kareleri toplamları farklıdır:

\(a+b=e+f \) ve a,b,e,f birbirlerinden farklı tamsayılar olsun.

\(f=a+b-e \)

varsayalım ki,
\(K=a^{2} + b^{2}=e^{2} + f^{2} \)
\(a^{2} + b^{2}=e^{2}+(a+b-e)^2 \)
\(a^{2} + b^{2}=e^{2}+a^2 + b^2+e^2+2ab-2be-2ae \)
\(0=2e^{2}+2ab-2be-2ae=2(e^2+ab-be-ae) \)
\(0=(e^2+ab-be-ae)=b(a-e)-e(a-e)=(a-e)(b-e) \)
\(a=e \lor {b=e} \)

Fakat bu sonuç ilk baştaki varsayımımıza aykırı. Demek ki karelerinin toplamları da
farklı olmalı.

Kareleri toplamları aynı olan sayı çiftlerinin toplamları farklıdır:

\(a^2+b^2 = c^2+d^2 \)
varsayalım \(a+b=c+d \) olsun
\((a+b)^2 = (c+d)^2 \)
\(a^2 + 2ab + b^2=c^2+2cd+d^2 \)
\(2ab=2cd \)
\(ab=cd \)
c varsayımımıza göre hem a hem de b sayılarından farklı. c 
için şöyle yazalım
\(c=a-x \)
buradan da \(d=b+x \) çıkar.
Şimdi kaldığımız yerden devam edersek:
\(ab=(a-x)(b+x) \)
\(ab=ab+ax-bx-x^2 \)
\(0=ax-bx-x^2=x(a-b-x) \)
Bu durumda ya x=0'dır, yani c = a ya da
\(a-b-x=0 \)
\(x=a-b \) yani c = b.

Retrograde (Çözüm)

Siyahın son hamlesinden sonraki pozisyonu görüyoruz. Siyahın son hamlesi bu durumda tabii ki Şh2 olmalı. Bu kareye h3 karesinden gelemeyeceğine göre g1 karesinden gelmiş olmalı. Peki beyaz şah g1 karesindeyken beyazın son hamlesi neydi?

İlk akla gelen hamle tabii ki beyazın büyük rok yapması. Beyaz kale böylece şah çeker ve şah da h2 karesine kaçar. Şimdi büyük roktan hemen önceki pozisyona bakalım.

Buradaki temel sorun ise, siyah şahın beyaza rok hakkını kaybettirmeden g1 karesine nasıl gelmiş olduğudur. h2 karesinden gelemez, beyaz piyonlar bunu engelliyor. Sol taraftan da gelmiş olamaz, bu durumda beyaz şahın yanından geçmeli ki bu da kurallara aykırı bir pozisyon olur. O zaman beyaz şahın daha önce hareket edip siyah şaha yol açmış olması gerekir ki, bu durumda da rok hakkını kaybetmiş demektir. Sonuç olarak beyazın son hamlesi rok olamaz. Peki beyazın son hamlesi rok değilse kalenin şah çekmesini nasıl açıklayacağız?

Kale son hamleyi yapıp şah çekmiş olamaz. Olası tek hamleleri ile zaten şah çekiyor olurdu ve bu pozisyon da kurallara aykırı olurdu. Demek ki beyaz açarak şah çekmiş. Yani beyazın g1 ile d1 kareleri arasında bir taşı olmalı ve bu taşı oradan çekince kale şah çekebilecke. Son pozisyonda bu taş tahtada olmadığına göre bu çekilen taşın h2 karesine gidebilmesi lazım. Bunun tek yolu da f1 karesindeki bir at.

Bu şekilde olası son hamleleri bulduk ama hala bir sorun var. Bu pozisyon kurallara uygun mu? Şahın g1 karesine nasıl geldiğini hala çözemedik. Siyahın son hamlesi hala Şg1 olmaz. Tek açık yol olan f2 karesi h1 karesindeki beyaz at tarafından kontrol ediliyor. Demek ki siyahın son hamlesi başka bir taşla olmalı. Bu taş da son pozisyonda tahtada olmadığından siyah bu taşı h2 karesine oynamış. Siyahın h2 karesine gidebilecek taşı çok. Örneğin g4 karesinden bir at olabilir. Siyahın oyunda bir taşının daha olması analizin geri kalanını kolaylaştıracaktır. Şimdi şahın g1 karesine ulaşabilmesi için daha kolay bir yol izleyebiliriz. Örneğin beyaz kaleyi d1 karesinden hatta 1. yataydan çıkarıp siyah şaha d3-e2-f1-g1 gibi bir rota hazırlayabiliriz. Bu esnada beyaz kale de d, e ve f hatlarından uzakta bir yerde olsun. Son olarak da f1 atını da uzak bir yere koyalım. Bu şekilde pozisyonu açmış oluruz. Örneğin şöyle:

1.  ...    Şe2
2.  Ke8+

2. ...   Şf1
3. Ad3+

3. ...   Şg1
4. Af1

4. ...   Af6
5. Ke1

5. ...   Ag4
6. Kd1

Ve sonunda kale ve şahı istediğimiz yerlere ulaştırdık. Şimdi h2 karesindeki şov başlayabilir.

6. ...   Ah2
7. Axh2+ Şxh2

Böylece soruda verilen son pozisyona ulaşmış olduk.

Elementler ve yoğunlukları

Önce Serkan kimya ödevi için geldi ve sordu:

“Alüminyum ve demirin yoğunlukları neden öyle farklı. Demir atomu alüminyum atomundan yaklaşık iki kat daha ağır ama yoğunluğu neredeyse üç katı. Bu farkı açıklayınız.”

Birkaç gün sonra da Ümit kendisine aldığım kimya kitabını okurken aklına takılan bir şey için geldi:

“Kitapta kurşun cıvadan hafiftir diyor ama periyodik sistemde kurşun cıvadan sonra geliyor, yani daha ağır. Nasıl olur da kurşun cıvanın üzerinde yüzer?”

Periyodik cetveli Ümit gibi ezbere bilmediğimden hemen internetten baktım. Tabii ki haklıydı. Bu sefer Serkan’a anlatırken yaptığım hatayı tekrarlamak istemiyordum. Formül alıp sayıları yerine koyarak yoğunlukları bulmak kolay.

\(\rho=n\cdot{\frac{A_r\cdot{u}}{a^3}}\)

\(n\): her hücrede kaç atom olduğunu belirtiyor. Elemente göre değişiyor, çünkü krital yapıları farklı.

\(A_r\): Elementin atom ağırlığı, genellikle periyodik cetvellerde veriliyor

\(u\): atomik kütle birimi = \(1.660539040\cdot{10^{-17}} kg\)

\(a\): kafes sabiti.

Bunları kağıt üzerinde çizimlerle anlatmak işe yaramamıştı, bu sefer başka bir deneme yapayım dedim.

İlk önce yoğunluğu kısaca tanımladım. Maddenin bir santimetreküpünün kütlesi.  Sonra bir santimetreküpte ne kadar kütle olduğunu adım adım anlatmaya çalıştım. Atomların kristal içinde çeşitli şekillerdeki kafesler içinde yan yana üst üste dizili olduğunu filan söyledim. Sonra bir santimetreküpe kaç tane kafes sığacağına baktık. Şansıma, özellikle Serkan’ın örneklerinde, kristal yapıları küp şeklinde kafeslerden oluşuyordu. Cıva uygunsuz bir örnekti ama bunu laf oyunlarıyla geçiştirmeyi başardım. Ödevde zaten özellikle küp şeklinde kafes yapıları seçilmiş. Bu durumda kafes sabiti denen değer bu küpün bir kenarının uzunluğu oluyor. Bir santimetreyi bu mesafeye bölünce bir boyutta kaç tane kafes olduğunu buluyoruz. Bu sonucun küpünü aldığımızda üç boyutta toplam kaç kafes olduğunu buluyoruz. Yukarıdaki formülde kesirin altındaki ifade bunun için var.

Bir santimetreküpte toplam kaç atom olduğunu bulmak için bir kafeste kaç atom olduğunu bulmak yeterli. Konuşmalarımızda en zor kısım da bu oldu. Çocuklarda ya üç boyutlu düşünme zorluğu var ya da bu yaşta normal bir durum. Serkan’a çizerek anlatmıştım ama Ümit’e küpler alarak denedim. Yine de zor. Küpün köşesindeki bir atomun o kafes için 1/8 atom ettiğini görmek çok zor geldi. Bunun üzerine daha iyi modeller yapmayı düşündüm.

İlk modelleri kürdanlarla yaptım ama bu çok zor geldi. Küpün tabanını ve üstünü tam kare halinde üstüste getirmek çok zor geldi.

Bundan sonra bir hobi dükkanından ince 2×2 mm proflli ıhlamur çubuklar aldım. Bunları kare ya da benim durumumda dikdörtgen (bütün parçaları eşit uzunlukta kesip taktığım için) şeklinde birleştirmek çok daha kolay oldu. Kafesin kenarlarını az tutkalla yapıştırmak yetti. Köşelerdeki atomları da top şeklindeki sentetik köpük malzemesinden kolayca kesip yine tutkalla yapıştrdım. Bu şekilde sadece köşelerde atomlar olan kristal kafesini çabucak yapabildim. Bu kristal şöyle oldu.

n = 1 (Bu kafeste toplam 1 atom var)

Ardından da küpün yüzlerinde de atomlar olan başka bir kafes modelini yaptım. Yüzlerdeki yarım atomları köşegenleri birleştirdiğim beyaz dikiş iplerine tutkalla yapıştırdım. Bu modeli de aşağıdaki fotoğrafta görebilirsiniz.

n = 4 (Bu kafeste toplam 4 atom var)

Son olarak temel modellerden küpün merkezinde bir atom olan model kaldı. Onu da zaman bulunca deneyeceğim.

Ek: Sonunda planladığım son modeli de yaptım. Bunun için ilk denemelerde yapmış olduğum kürdan kafesi kullandım, bu yüzden kenarlar biraz yamuk ama yeterli. Merkezdeki topu kafesin içine koyduktan sonra bir iğne ile ipi önce köşedeki bir atomdan sonra merkezdeki toptan en sonunda da karşı köşedeki atomdan geçirip tutkalla yapıştırdım. Bu işlemi iki köşegen için yapınca merkezdeki atom da yeterince iyi duruyor. İğne ile delik açarken elime bir şey olmasın diye kalın ve sivri olmayan bir iğne kullandım ama bu durumda da atomları yaptığım malzeme zedelendi. Sağ alt köşedeki atomun yüzeyindeki ipin çıktığı yerdeki tümsek bu zedelenmeden kaynaklandı.

 

n = 2 (Bu kafeste toplam 2 atom var)