Kategori: Bilmece

100 hapishane hücresi (Çözüm)

Kilitli bir kapı ilk ziyarette açılacaktır, ikinci ziyarette tekrar kilitlenecektir. Üçüncü bir ziyarette tekrar açılacaktır ve bu böylece devam edecektir. Yani eğer kilitl bir kapı tek sayıda (1, 3, 5, …) ziyaret edilirse artık açık durumda olacaktır.

Başlangıçta bütün kapılar kilitli. O zaman her kapının kaç kere ziyaret edildiğini bulmamız gerekecek. Tek sayıda ziyaret edilen kapılar açık olacak ve çift sayıda ziyaret edilenler de kilitl kalacak. Bunun basit bir çözümü oyunu gerçekten de adım adım oynamak ve kapıların durumlarını takip etmek. Biraz uzun sürer ama neden olmasın? Daha çabuk bir yolu var mıdır? Elbette!

Gözlem:

Her kapı o kapı numarasının pozitif bölenlerinin sayısı kadar ziyaret ediliyor. Örnek vermek gerekirse 6 numaralı kapı, birinci, ikinci, üçüncü ve altıncı turlarda ziyaret ediliyor. Bu tur numalararı da kapı numarasının pozitif bölenleri.

Peki verilen bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını nasıl hesaplayabiliriz?

Bunun cevabını başka bir yazıda kısaca vermiştim.

verilen bir \(a \) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \(a=p_{1}^{n_{1}}\cdot{p_{2}^{n_{2}}}\ldots{p_{k}^{n_{k}}} \) olsun.

\(a \) sayısının pozitif bölenlerinin sayısını \(n(a) \) ile gösterirsek

\(n(a)=(n_{1}+1)\cdot(n_{2}+1)\ldots(n_{k}+1) \)

Her kapı numarası için bu çarpımı hesaplamak yerine sadece hangi çarpımlar için sonucun tek sayı olduğuna bakalım. Bir çarpım sadece bütün çarpılan sayılar tek ise tektir. Eğer çarpılan sayılardan biri bile çift ise, bütün çarpımın sonucu çifttir. Çarpılan sayıların her biri tek olacaksa o zaman \(n_{1} \), \(n_{2} \), \(n_{k} \) sayılarının hepsi çift olmalıdır. Bu da sayının bütün asal çarpanlarının kuvvetlerinin çift olması demektir.

Eğer bir sayının asal çarpanlarının hepsinin kuvvetleri çift ise o sayı tamkaredir.

\(a=p_{1}^{2\cdot{n_{1}}}\cdot{p_{2}^{2\cdot{n_{2}}}}\ldots{p_{k}^{2\cdot{n_{k}}}}=(p_{1}^{n_{1}}\cdot{p_{2}^{n_{2}}}\ldots{p_{k}^{n_{k}}})^2 \)

Sonuç:

Aradığımız kapılar numaları tamkare sayılardır. Yani hücreler birden yüze kadar numaralanmışsa 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 numaralı kapılar gardiyanın eğlencesi bittiğinde açık olacaktır ve diğer bürün kapılar kilitli kalacaktır. Tabii gardiyanın ilk turu bittiğinde hücrelerde hala tutuklu biri kalmış mıdır bilmiyorum.

Satranç – Retrograde (Çözüm)

diagram

Bu pozisyon siyahın son hamlesinden sonra meydana geldiğine göre siyah şah bir önceki hamlede a7 karesinde olmalıdır. Beyaz şah yüzünden b7 karesinden a8 karesine gelmiş olamaz. Peki siyah şah a7 karesindeyken beyazın hamlesi ne olmuş olabilir?

Beyaz şahı oynamış olamaz, g1 karesindeki fil şahı tehdit ederken başka bir taşı hareket ettirmiş olamaz. h2 karesindeki piyon da oynamış olamaz. Beyaz fil de hareket etmiş olamaz, çünkü hareket edebileceği tek diyagonalin bütün kareleri siyah şahı tehdit ediyor olurdu. Demek ki beyaz son hamlesinde açarak şah çekmiş ve siyah da son hamlesinde bu taşı almış, çünkü bu taş artık tahtada değil. a7-g1 dıyagonali üzerinde olup bir hamlede a8 karesine gelebilecek tek taş b6 karesindeki beyaz attır. Demek ki son hamleler şöyleydi:

1. Aa8    Şa8

Başka bir satranç sorusu (Çözüm)

Beyaz oynar ve 1 hamlede mat eder.
Beyaz oynar ve 1 hamlede mat eder.

Bu pozisyonda beyazın mat edebilmesi için şah çekmesi lazım. Şah çekebilmesinin tek yolu da piyonu sekizinci sıraya çıkarması fakat piyon hangi taşa dönüşürse dönüşsün siyah şah onu alabilir ve mat önlenebilir gibi gözüküyor.

İngiltere Satranç Birliği’nin 1862 kurallarından XIII numaralı kurala göre son sıraya erişen piyon istenilen bir taşa çevrilebiliyordu. Piyon olarak kalabiliyordu ya da bu problemin çözümünde olduğu gibi başka bir renkteki taş da olabiliyordu.

Soruyu bu kural doğrultusunda çözmeye kalkarsak

1. b8=A(siyah)

hamlesi sonucunda şahın kaçabileceği tek kareyi kendi renginde bir at ile kullanılamaz bir hale getirebiliriz. Böylece siyah mat olur.

Biraz da satranç (Çözüm)

Beyaz oynar iki hamlede mat eder.
Beyaz oynar iki hamlede mat eder.

Beyaz piyon 8. sıraya ulaşıp da vezir olursa siyah şah g2 noktasına kaçarak matı önler.

1. e8=V    Şg2

2. Ve2      Şh1

 

ya da

1. e8=V    Şg2

2. Ve4+     de

İlginç bir şekilde piyonun kale yapılması 1972 yılında iki hamlede matı sağlıyordu.

1. e8=K    Şg2

2. 0-0-0-0-0-0!#

Evet ikinci hamle 1972 yılından beri kurallara aykırı bir rok hamlesi. 1972 yılına kadar rok yapmak için rok yapacak kalenin ve şahın daha önce oynamamış olmasını, şahın bulunduğu yada rok sırasında geçeceği karelerin rakip kontrolü altında olmamasını gerektiriyordu. Fakat kurala göre şah ve kalenin aynı yatayda olma zorunluluğu yoktu. Tabii ki bu kurallar konurken gözden kaçan bir durumdu, o zamana kadar bu kimsenin aklına gelmemişti. Max Pam bu imkanı ortaya attığında Tim Krabbe de yukarıdaki problemi hazırladı. Bunun üzerine 1972 yılında FIDE (satranç federasyonu) kurala küçük bir ek yaparak şah ile kalenin aynı yatayda olması şartını getirdi.

Not:

Tabii ki böyle bir hamle öngörülmediği için standard bir notasyonu da yok. Bazı kaynaklarda sadece 0-0-0-0 hamlesi olarak da kullanılıyor.

 

100 hapishane hücresi

Bir hapishanede nöbetçi gardiyan sarhoş olur ve bir çılgınlık yapmaya karar verir. Hapishanedeki hücreler birden yüze kadar sırayla numaralanmıştır. Başlangıçta bütün hücrelerin kapıları kilitlidir. Gardiyan önce sırayla bütün hücrelerin kapılarını açar. Sonra bir tur daha atar ve bu sefer her ikinci kapıyı kilitler. Sonra bir tur daha atar ve bu sefer her üçüncü kapı kilitliyse açar, kilitli değilse de kilitler. Bu oyun git gide hoşuna öyle gider ki bu şekilde yüz tur atar. Her turda sadece o tur numarasına bölünen hücrelerin kapılarının durumunu değiştirmektedir, yani kilitliyse açıyor, kilitli değilse kilitliyor.

Gardiyanın bütün turları bittiğinde hangi hücrelerin kapıları açıktır?

Açıklama:

1. turda uğranan hücreler: 1, 2, 3, …, 99, 100

2. turda uğranan hücreler: 2, 4, 6, …, 98, 100

3. turda uğranan hücreler: 3, 6, 9, …, 96, 99

…

100. turda uğranan hücreler: 100

Çözüm

Erkek – Kız

Ahmet Bey misafirliğe gelen komşularını biraz meşgul etmek için şöyle bir soru soruyor.

2 çocuğum var ve en az biri erkek. Diğer çocuğumun da erkek olma olasılığı kaçtır?

Komşular hararetle bu soruyu tartışmaya başladıktan bir süre sonra Ahmet Bey başka bir soru soruyor.

2 çocuğum var ve en az biri erkek ve bu çocuk salı günü doğdu. Diğer çocuğumun da erkek olma olasılığı kaçtır?

Misafirlere yardım etmeye ne dersiniz?

 

Çözüm