Kategori: Bilmece

Bir Kelime Bir İşlem – 2

İşlem:

1.   9 6 4 9 6 25     Hedef: 582

2.   9 7 7 1 2 50     Hedef: 429

3.   7 8 3 3 5 25     Hedef: 621

4.   1 1 6 3 3 25     Hedef: 792

5.   8 2 9 9 8 100   Hedef: 769

 

Kelime:

  1. O A G N M Ç H
  2. Y R Ü T I V E
  3. O N C K I L Z
  4. Ç G Ç Ö A A B
  5. Ş J U I J A A

 

 

 

 

Cevaplar

İşlem:

  1.   6 x 4 = 24

24 x 25 = 600

9 + 9 = 18

600 - 18 = 582
  2. 9 x 50 = 4501 + 2 = 33 x 7 = 21450 - 21 = 429
  3. 3 x 8 = 2424 x 25 = 6003 x 7 = 21600 + 21 = 621
  4. 1 + 1 = 22 x 3 = 66 x 6 = 3625 - 3 = 2222 x 36 = 792
  5. 8 ÷ 2 = 4100 - 4 = 968 x 96 = 7689 ÷ 9 = 1768 + 1 = 769

 

Kelime:

  1. ZANGOÇ    (Ç Joker) : Kilise hizmetini gören ve çan çalan kimse.
  2. RÜŞVET      (Ş Joker) : Yaptırılmak istenen bir işte yasa dışı kolaylık ve çabukluk sağlanması için bir kimseye mal veya para olarak sağlanan çıkar.
  3. OZANLIK    (A Joker) : Şairlik.
  4. KAÇGÖÇ    (K Joker): Dinî bir anlayışla Müslüman kadınların erkeklere görünmemeleri, bir arada oturup konuşmaktan kaçınmaları.
  5. AŞAĞI         (Ğ Joker): Bir şeyin alt bölümü, zir, yukarı karşıtı.

Retrograde (Çözüm)

Bu pozisyonda tahtadaki taşları boyamamız isteniyor, yani hangi taşların beyaz, hangi taşların siyah olduğunu bulacağız. Şahların birinin beyaz birinin siyah olacağı açık. Peki diğer taşların biri beyaz biri siyah olabilir mi?

Olamaz, çünkü bu durumda iki taraf da aynı anda şah çekiyor olur. Bu da daha önce birinin kurallara aykırı bir hamle yaptığı anlamına gelir. Demek ki kale ve vezir aynı renklerde olmalı. İkisi de aynı anda şah çektiğine göre açarak şah çekilmiş olması lazım. Bu pozisyonda tek açarak şah imkanı beyazın g7 piyonunun h8 karesine giderek vezir olmasıyla mümkün. Demek ki piyon h8 karesinde siyah bir taş almış.

Bu pozisyonda siyah at yerine siyah fil de olabilir tabii. Böylece taşların rengini belirlemiş olduk.

1. gxh=V

Asansörler (Çözüm)

Soru

Bu soruyu çözmek için nedense çizge teorisini denemekle başladım. Çizge teorisinin güzel tarafı anlaşılır ve kolay işlemlere sahip olmasıydı. Bir de problemi görsel olarak modellemek de kolaydı.

Tabii ki soruda verilenle değil de daha basit bir problemle başladım. Amacım basit bir formül bulmaktı. Bu hedefle ve yöntemle yola çıkmak bu örnekte de görüldüğü gibi bazen insanı çok erken sevindiriyor ve bir süre sonra da yarı yolda bırakabiliyor.

Önce çizge teorisiyle problemi modellemeyi denedim. Katları düğüm noktalarıyla, katlar arası geçişleri de bu noktaları birleştiren çizgilerle gösterdim. Bu durumda herhangi bir kattan başka herhangi bir noktaya tek asansörle gidebilmek, bütün noktaların birbirleriyle birer çizgiyle bağlı olması demek oldu.

Bu şekildeki N düğüm noktasına sahip bir çizgede toplam bağlantı sayısı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

Birinci nokta diğer bütün noktalarla bağlantılı olacak: \(N – 1 \) bağlantı.

İkinci nokta birinci hariç kalan diğer bütün noktalarla bağlantılı olacak: \(N – 2 \) bağlantı.

Bu şekilde birinci noktadan son noktaya kadar toplarsak (son noktada bağlantı sayısı 0 olacaktır) toplam bağlantı sayısını buluruz: \(N-1 + N-2 + \dots + 1 + 0=\frac{(N-1)\cdot{N}}{2} \)

Burada en basit problem olarak sadece iki katta duran asansörleri ele aldım. Tabii bu şekilde hareket eden bir asansör çizgemizdeki tek bir bağlantıya karşılık gelecektir. Bu da N kat için gereken asansör sayısının, yukarıda bulduğumuz gibi, bağlantı sayısına eşit olduğu anlamına gelecektir.

Daha sonra üç kata giden asansörlere baktım. Toplam bağlantı sayısı aynı kalıyor tabii ki. Her asansörün bu bağlantıların kaçına karşılık geldiğine baktım. Üç kata giden asansör üç bağlantıya karşılık geliyor tabii ki. Örneğin 1., 2. ve 3. katlarda duran asansör, çizgede 12, 23 ve 31 katları arasındaki geçiş bağlantılarıyla gösterilmekte ve çizgedeki toplam bağlantı sayısını üçe bölerek gereken asansör sayısını bulabileceğimi düşündüm. Tabii bunu yapabilmek için aslında her zaman üç kat seçebileceğim varsayımını da yapmış oldum. Bu varsayım tabii ki yanlıştı. Eğer doğru olsaydı toplam bağlantı sayısının üçe bölündüğü bu formül gereken asansör sayısını bulacaktı:

\(\frac{(N-1)\cdot{N}}{6} \)

Fakat şu kısa tabloya bakılınca bazı kat sayıları için bu formülün doğru sonucu vermediğini görüyoruz.

Bunun üzerine formülde biraz daha oynadım. Örneğin tavan fonksiyonunu filan da kullandım ama her seferinde bu formülün işe yaramadığı bir örnek çıktı. Bunun üzerine formül aramaktan vazgeçip, başka ne tür kurallar bulunabilir diye aramaya başladım.

Farkettiğim basit kurallardan biri her katın asansörlerde yaklaşık olarak eşit sayıda bulunması gerektiği. Yani 10 kat varsa ve 4 katta duran 20 asansör varsa, asansörlerde her kat yaklaşık (bu durumda belki de tam) 8 kere bulunmalı.

Bir başka ilginç özellik de şöyle. Diyelim ki şöyle bir problem verilmiş. 7 katlı bir bina için 3 katta duran kaç asansör gerekmektedir? Bu probleme bir çözüm bulduğumuz an otomatik olarak  6 durakta duran aynı sayıda asansörün 14 katlı binanın bir çözümü olduğunu da buluyoruz. Daha basit bir örnekle başlayıp bu özelliğe bir bakalım.

3 katlı bir binada sadece 2 katta duran kaç asansör gereklidir?

Çözüm olarak kolayca şunu bulabiliriz:

1. asansör: 1, 2

2. asansör: 1, 3

3. asansör: 2, 3

Yukarıda her asansörün hangi katlarda durduğu yazılı. Bundan daha az asansör olamaz. Şimdi 4 durakta duran üç asansörle kaç kata gidilebileceğini bulmak için bu üç asansörü alıp her birine ikişer kat daha ekleyelim. Bu katları eklerken yapacağımız tek şey mevcut olan kat numaralarına basit problemdeki kat sayısını eklemek, yani 3.

1. asansör: 1, 2,  1 + 3 = 4, 2 + 3 = 5  (İlk iki kat önceki sorunun çözümüydü ve bina 3 katlıydı)

2. asansör: 1, 3, 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6

3. asansör: 2, 3, 2 + 3 = 5, 3 + 3 = 6

Peki bunun bir çözüm olduğunu nereden biliyoruz? Bunu göstermek daha kolay. Asansörlerin kat listelerindeki sol yarının 1. kattan N. kata kadar problemi çözdüğünü biliyoruz. Yani k numaralı kattayken, k numaralı katın bulunduğu asansörleri  seçtiğimizde 1. kattan N. kata kadar gidebiliyorduk. Bu da bu seçilmiş asansörlerin kat listesinin sol tarafında 1’den N’ye kadar her katın bulunduğu anlamına geliyor. Biz bu kat listelerinin sağ yarısını oluştururken soldaki kat numaralarına N sayısını ekledik. Yani seçtiğimiz asansörlerin sağ tarafındaki numaralar da N+1’den 2N’ye kadar gidiyor. Dolayısıyle aynı asansörlerle 1’den 2N’ye kadar her kata ulaşabiliyoruz.

Yukarıdaki basit örnekle bunu deneyelim. Birinci katta olduğumuzu düşünelim. Bu durumda içinde 1 bulunan asansörleri seçiyoruz. Bunlar da 1. ve 2. asansörler.

1. asansör: 1, 2, 4, 5

2. asansör: 1, 3, 4, 6

Kat numaralarının sol yarısında 1, 2 ve 3 numaralı katlar var ve birinci kat ikisinde de ortak. Yani birinci kattan diğer katlara gidebiliyorduk. Sağ yarıdaki katları üretirken de bu sayılara 3 ekledik, yani sol taraf birden üçe giderken, sağ taraf da dörtten altıya kadar gidiyor. Birinci kat bu iki asansörde ortak olduğundan bu iki asansörle birinci kattan altıncı kata kadar asansör değiştirmeden gidebiliriz. Aynı mantığı diğer katlar için de uygulayabiliriz, bu sırada yapacağımız tek şey belki farklı katlar için farklı asansör gruplarını seçmek olacak.

Peki bu yöntem daha büyük soru için optimum çözümü mü veriyor? Bunu şimdilik bilmiyorum.

Şimdi temel sorumuza dönelim. 7 asansörümüz var ve her biri 6 katta duruyor. Bunu çözmek için biraz önce anlattığım yöntemi deneyelim. Her biri 3 katta duran 7 asansör sorusunu alalım. Biraz deneme yanılma yaparak şöyle bir çözüm bulabiliriz.

  1. asansör: 1, 2, 3
  2. asansör: 1, 4, 5
  3. asansör: 1, 6, 7
  4. asansör: 2, 4, 6
  5. asansör: 2, 5, 7
  6. asansör: 3, 4, 7
  7. asansör: 3, 5, 6

Yani bu kadar asansörle 7 katlı bir binayı çözebiliyoruz. O zaman yukarıdaki yöntemle durak sayısını ikiye katlarsak kat sayısını da ikiye katlayabiliriz.

  1. asansör: 1, 2, 3, 8, 9, 10
  2. asansör: 1, 4, 5, 8, 11, 12
  3. asansör: 1, 6, 7, 8, 13, 14
  4. asansör: 2, 4, 6, 9, 11, 13
  5. asansör: 2, 5, 7, 9, 12, 14
  6. asansör: 3, 4, 7, 10, 11, 14
  7. asansör: 3, 5, 6, 10, 12, 13

Çizge teorisiyle sorunu çözemedim ama orada bulduğum formüllerle asansör sayısıyla ilgili alt ve üst sınırları bulabiliriz. Internette bu problemlerin genel çözümünü ve formüllerini de aradım ama henüz bulabildiğim şeyler çok kısıtlı. Bu soru başka bir şekilde Kobon Fujimura’nın The Tokyo Puzzles kitabında çözülmüş ama kitaba henüz ulaşamadım. Bir de kodlama teorisinde de bu sorunun çözümü varmış diye okudum ama henüz onu araştıramadım. Yeni şeyler öğrendiğimde bunları da yazacağım.

 

Retrograde (Çözüm)

Siyahın son hamlesinden sonraki pozisyonu görüyoruz. Siyahın sadece şahı olduğuna göre son hamlesinde de bu şahı oynamış olmalı. Şahın bir önceki pozisyonda olabileceği kurallara uygun tek kare ise h7 karesidir.

Peki bu pozisyonda beyazın son hamlesi neydi? h2 piyonu oynamış olamaz, başlangıç karesinde. Şah oynamış olamaz, çünkü beyaz fil şah çekiyor. O zaman beyaz fil oynamış olmalı heralde. Fakat beyaz fil de a7-g1 diyagonalinde oynamış olmalı o zaman ve bir önceki pozisyonda da şah çekiyor olacaktı. O zaman fil hamlesi de kurallara uygun değil. Demek ki beyazın son hamlede kullandığı taş son pozisyonda tahtada değil ve ayrıca beyaz filin şah çekmesini de engelliyor. Son pozisyonda tahtada olmadığına göre beyazın son hamlesinde h7 karesine gitmiş olmalı. Şah çekilmesini engellediğine göre de a7-g1 diyagonalinde olmalı. Bu diyagonalden a8 karesine ulaşabilen tek taş bir attır. Demek ki bu pozisyonda beyazın b6 karesinde bir atı olmalı.

1. Aa8+

1. ... Şxa8

Ve böylece son pozisyonumuza da kurallara uygun bir şekilde ulaşabildik.

Retrograde (Çözüm)

Werner Keym’in bu pozisyonda sorusu, birden daha az hamlede mat. Birden daha az hamlede kastedilen şey, geçerken alma hamlesinde iki piyon da şu anda tahtada ve alınmış olan piyon tahtadan alınacak. O zaman şah çekilmiş olacak ve mat olacak. Geçerken almanın olabilmesi için bir tarafın son hamlesinde bir piyonunu iki kare ileri sürmüş olması lazım. Tabii bu esnada hamlenin kimde olduğu da bulunacak. Problemi daha da zorlaştırmak için verilen pozisyonda bir sürü geçerken alma hamlesi mümkün durumda. Bunları tek tek inceleyelim.

İncelemeye başlamadan önce pozisyonla ilgili genel bilgilerimizi tazeleyelim.  Beyazların bir fili (siyah karelerdeki) ve bir kalesi eksik. Bunun dışında 14 taşı da tahtada. Demek ki hiç piyon kaybetmemiş, bütün taşları orijinal, yani bir piyonunun sekizinci kareye erişmiş olması söz konusu değil. Siyahlar ise bir kale ve iki piyon kaybetmiş.

1. a5xb6

Geçerken alma hamlesinin hemen öncesinde bu pozisyon olmalı. Siyah b7 piyonu b5 karesine gelince beyaz a5 piyonu b6 karesine giderek b5 karesindeki siyah piyonu alacak. Şimdi bu pozisyonun kurallara uygun olup olmadığına bir bakalım.

Siyahların g3 ve g5 karelerindeki piyonları bunların en az birinin bir taş alıp bu hatta geldiğini gösteriyor.

Beyazların g4 ve g7 piyonları da bu hatta en az bir siyah taşın alındığını gösteriyor.

Siyah e3 ve beyaz e4 piyonları birbirlerini sollamışlar. Demek ki burada da en azından bir beyaz taş alınmış (en ekonomik durum siyahın f piyonunun bir beyaz taş alarak beyaz piyonun arkasına geçmesi).

Beyazın a5 piyonu ve siyahın a3 piyonu birbirlerini bir şekilde sollamışlar. Eğer siyah piyon sollamayı yapmışsa iki taş almış olmalı, çünkü b7 piyonu hala yerinde, bu siyah piyon ya a ya da c sütunundan a3 karesine ulaşmış olmalı, fakat bu durumda beyazların toplam üç taşı alınmış olmalı ki bu da olmamış. Demek ki beyaz piyon iki taş alarak a5 karesine ulaşmış. Peki bu beyaz piyon hangi taşları almış olabilir? En az bir piyon almış olduğu açıktır, çünkü siyahın üç taşının ikisi piyon ve beyaz piyon iki taş almış. Bu siyah piyonu ya b ya da a hattında aldığına göre bu siyah piyon o hatta gelirken de bir taş almış olmalı. Bu durumda siyah en az üç beyaz taş almış olur ki bu da pozisyona göre mümkün değil. Demek ki bu incelediğimiz geçerken alma hamlesi mümkün değil.

2. c5xb6

Beyaz g4 ve g7 piyonlarından en az biri g hattında bir siyah taş almış. Bundan başka beyaz c piyonları da iki siyah taş almış (a hattı ile c hattı arasındaki geçiş bu şekilde açıklanabilir). Bu durumda beyaz piyonlar başka taş almış olamaz. O zaman tahtadaki kalan gariplikleri siyah piyonların taş almalarıyla açıklayacağız. g3 ve g5 piyonları bir beyaz taş almış olmalı. e3 piyonu e4 beyaz piyonunun arkasına geçmek için bir beyaz taş almış olmalı. Son olarak da d5 piyonu d6 piyonunun arkasına geçmek için bir taş daha almış olmalı. Bu da toplamda 3 beyaz taş alınmış demektir ve mümkün değildir. Yani bu geçerken alma hamlesi de mümkün değil.

3. c5xd6

Bu pozisyon siyah d5 hamlesini yapmadan hemen önce. Beyaz piyonların konumundan b, c ve g hatlarında birer siyah taş alındığı açık. Bu durumda beyaz e6 filinin şah çekme durumu açıklamada zorluk çıkarıyor. c4 g8 hattında hareket etmiş olmalı ve bu da e6 karesinde bir siyah taş almış olmalı anlamına geliyor ama o zaman 4 siyah taş alındığından bu da olmuş olamaz. Evet, çözümdeki açıklama bu ama bence burada bir açık yer var. Beyaz fil bir taş almadan da şah çekebilir.

1. Ae7 d5
2. cxd6#

Evet at ile açarak şah çekmek mümkün. Bu hamle filin taş almasına ihtiyaç da bırakmıyor. a3 karesindeki piyon da oraya hiç taş almadan ulaşmış olabilir. Bunun için hareketine beyaz a5xb6 hamlesini yaptıktan sonra başlaması yeterli. Bu noktada çözüm konusunda karamsarlığa kapıldım ama aramaya devam etmekten başka yolum yoktu.

Siyahın g3 ve g5 piyonları her zamanki gibi bir beyaz taşın alınmış olduğunu gösteriyor. Ayrıca beyaz şimdiye kadar üç taş almış olduğundan e3 karesindeki siyah piyon buraya taş alarak gelmiş olmalı. e4 piyonu taş almış olamaz. e3 piyonu f hattından bir taş alarak buraya gelmiş olabilir. Her sorunun bir açıklaması var gibi gözüküyor ama bir sorun daha var. Siyahın e piyonuna ne olmuş?

Beyaz piyonlar siyahın e piyonunu alıp b, c ya da g hattına ulaşmış olamaz. Bunun için üçten fazla taş almış olmaları lazım. Siyah e3 piyonu da orijinal e piyonu olamaz, o zaman bu piyon tek başına iki beyaz taş almış olmalıydı. Kalan tek ihtimal beyaz e piyonunun sekizinci kareye o hattan ayrılmadan ulaşmış olması ama bu da mümkün değil çünkü beyaz e4 hiç taş almadığından o hattan ayrılmış olamaz ve siyah e piyonu bunun üzerinden atlamış olamaz. Demek ki bu pozisyon da mümkün değil.

4. e5xd6

Bir önceki pozisyona çok benzeyen bir durum.  b, e ve g hattındaki çifte beyaz piyonlar üç siyah taşın alındığını gösteriyor. Bu seferki problem taş ise siyahın c piyonu. Beyaz piyonlar c piyonunu almış olamaz, o zaman en az biri en az iki taş almış olurdu. Yani toplamda üçten fazla siyah taş alınırdı. c3 karesindeki beyaz piyonun hiçbir taş almadığını da biliyoruz. Yani siyah c piyonu taş almadan son sıraya erişmiş olamaz. Siyahın e3 ve g hattındaki iki piyonları da siyahın bunlarla birer taş aldığını gösteriyor. Dolayısıyla siyahın c piyonu da bir taş almış olamaz. Demek ki bu pozisyon da mümkün değil.

5. d4xe3

Beyaz e4 hamlesini yapmadan hemen önceki pozisyon. Siyahın d ve g hattındaki piyonları iki tane beyaz taşın bunlar tarafından alındığını gösteriyor. İlk bakışta d3 karesindeki siyah filin bir üçüncü beyaz taşı alıp şah çektiğini düşünsek de e4 karesindeki atın f2 karesine gidebileceğini önceki durumlardan biliyoruz. Başka bir sorun var mı diye bakmaya devam etmeliyiz.

Beyazın b ve g hattındaki piyonları iki siyah taşı almıştır. d6 karesindeki beyaz piyon ise taş almamıştır, çünkü almış olsaydı iki taş alması gerekecekti. Komşu hatlardaki beyaz piyonlar hatlarında kalmış. Bu durumda da d4 ve d5 karelerindeki siyah piyonlar c ve e hatlarından gelmiş olmalı, yani  bu iki piyon iki taş almış. Sonuçta siyah piyonlar üç beyaz taş almış olmalı, ki bu da problemle çelişmekte.

6. f4xe3

Burada da beyazın e4 hamlesinden önceki pozisyonu görüyoruz. Siyahın g hattındaki piyonlarından biri bir siyah taş almıştır. Beyazın d6 piyonu siyah piyonun arkasına geçmek için iki taş almış olsa toplam en az dört taş almış olacağından (b ve g hattındaki piyonlar toplam iki taş almıştır) d6 piyonu taş almamıştır.  Siyah d5 piyonu beyaz piyonun arkasına geçerken bir beyaz taş daha almıştır.

Bu pozisyonda siyahın d  piyonunun akıbetini merak etmeye başladım.

Beyazb6 karesinde bir beyaz taş almış ama bu piyon değil. Siyah d hattında ve g hattında taşlar aldığında siyahın c piyonu b hattına girmiş olamaz.  Siyahın c piyonu d6 karesinde bir taş almış olabilir. Bu durumda siyahın d piyonu başka bir yerde alınmış olmalı ya da son sıraya erişmiş olmalı. Vezire taş almadan çıkamaz ama çünkü beyazın d piyonu hiç taş almamış, yani yolu sürekli kapatmış. Siyahın orijinal d piyonu da taş almış olamaz, yoksa beyaz en az üç taş kaybetmiş olurdu. Bu analize göre bu pozisyon da mümkün değil.

7. h4xg3

Burada beyazın g4 hamlesinden önceki pozisyonu görüyoruz. Beyaz b6 karesinde ve g dikeyinde birer siyah taş almış. Siyahın d5 ve e3 piyonları birer beyaz taş almış olmalı. Bu durumda siyahın kayıp diğer iki piyonu aynı hatta alınmış olamaz (beyaz 4 taş almış olurdu) ya da son sıraya erişmiş olamazdı (siyahın 4 taşı eksik olurdu). Bu pozisyon da mümkün görünmüyor.

8. f4xg3

Bu pozisyon beyazın g4 hamlesinden önceki pozisyonu gösteriyor. Kalan son ihtimalin artık doğru çözüm olması lazım. Bakalım bu pozisyona mantıklı bir açıklama bulabilecek miyim?

 Beyaz a5xb6 ve hxg ile iki siyah taş almış. Siyahın h piyonu son sıraya ulaşmış olabilir. Ayrıca siyahın d piyonu da kendi hattında alınmış olabilir. Olası bir kaba senaryo şöyle olabilir.

a5xb6 (siyah kale alınmış)

ardından siyah piyon a7 … a3 şeklinde ilerlemiştir.

h6xg7 (siyah veziri almış olabilir) ve ardından h7…h1=V.

d7…d4 şeklinde siyah piyon ilerlemiştir. Sonra beyaz piyon e4 oynar ve  bir ara da dxe3 ile siyah piyon beyaz fili alabilir. Bundan sonra beyaz da d2…d6 şeklinde piyonunu ilerleyebilir. Son olarak da siyah c6xd5 ile beyazın kalesini alabilir. Bu senaryoda beyazın e piyonu kendi başlangıç karesinde alınmış olmalı ki bu da mümkün.