Yılmaz Aksoy Blog – Sayfa 22 – Delilikle dahilik arasında ince bir ufuk çizgisi vardır.

Günübirlik geziler (Worms – Nibelungen şehri)

Bir Alman-İstandinav destanı olan Nibelungen büyük ihtimalle kavimler göçü zamanına dayanıyor. Hun hakanı Attila zamanındaki ve sonrasındaki olayları birbirleriyle karıştırıp, değiştirip bir destan yaratmışlar. Bu destanda geçen önemli karakterlerle ilgili çeşitli anıtları ve çeşmeleri görmeyi planlamıştım ve bunları görebildim. Bir de Nibelungen müzesi var şehirde ama onu gezmeye zamanım yetmedi. Artık bir dahaki sefere.

İstasyondan katedrale doğru giderken kısa süre sonra Nibelungen destanı çeşmesine geliniyor. Çeşmedeki anıtta destandan bazı sahneler ve alıntılar görülebiliyor.

DA ABER SPRACH KRIEMHILD: ICH LASSE NICHT ZU DASS DU MICH ALS DIEBIN BEZICHTIGST…

SIEGFRIED NAHM DEN GÜRTEL, ZOG ZURÜCK UND FLUGS LEGTE SICH GUNTHER ZU BRUNHILD INS BETT…

DA WAR HAGEN ZU BODEN GESTRAUCHELT NIEDERGEWORFEN VON SIEGFRIED. DIE WUCHT DES SCHLAGES WIEDERHALLTE LAUT ÜBER DEN WERDER…

Biraz ileride de Worms şehrinin tarihindeki önemli olayların anlatıldığı Çarkıfelek çeşmesi vardı.

Katedralden dönerken yolda önce Siegfried çeşmesine uğradım.

En son da Ren kıyısındaki Hagen anıtına uğradım.

Hagen Nibelungen hazinesini Ren nehrine atarken.

Bundan sonra yağmur devam ettiğinden ve hava da yavaş yavaş kararmaya başladığından dönüş yolculuğuna geçtim. Yol üzerinde büyük şehirlerde görüp de şaşırdığımız yabani papağanlardan da gördüm.

Acaba ne demek

Bu yazı serisinde bazı denklemlerin ne anlama geldiğine çeşitli açılardan bakmayı düşünüyorum. Bilim iddia edildiği kadar karmaşık değildir belki de.

Hadi o zaman aşağıdaki denklemle başlayalım.

\({n \choose k} = {n \choose {n-k}}\)

Evet bu denklem kombinatorik alanından geliyor. Bu gösterim \(n \) elemanlı bir kümenin \(k \) elemanlı alt küme sayısını ifade eder. Bu eşitliği lisede öğrenir ve binom açılımlarında sıklıkla kullanırız. Bu denkliği cebir ile göstermek kolaydır ve bunu yazının sonunda yapacağım. Bu yazıdaki asıl amacım ise bu eşitliğin ne demek olduğu üzerinde düşünmek.

Eşitliğin sol tarafı yukarıda da dediğim gibi \(n \) elemanlı bir kümenin \(k \) elemanlı alt kümelerinin sayısını veriyor. Sağ tarafı da yine bu \(n \) elemanlı kümenin \(n-k \) elemanlı alt kümelerinin sayısını veriyor.

\(n \) elemankı kümemizden her \(k \) elemanlı küme seçtiğimizde geriye seçmediğimiz (ya da dolaylı olarak seçtiğimiz) \(n-k \) eleman kalacaktır ve bu elemanlar da bir küme oluşturacaktır. Yani her \(k \) elemanlı bir altküme için yine \(n-k \) elemanlı bir altküme var. \(k \) elemanlı herhangi iki küme birbirinden farklı ise, yani ortak olmayan en az bir elemanları varsa o zaman bu altkümeler tarafından elde edilen \(n-k \) elemanlı altkümeler de birbirlerinden farklıdır. Bunu şöyle görebiliriz. Bu \(k \) elemanlı altkümelere \(A_{1} \) ve \(A_{2} \) diyelim. Bunların dolaylı olarak oluşturduğu \(n-k \) elemanlı altkümelere de \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) diyelim. Şimdi \(a \) elemanı \(A_{1} \) altkümesinin bir elemanı olsun ama \(A_{2} \) altkümesinde bulunmasın. O zaman bu \(a \) elemanı \(B_{2} \) altkümesinde bulunacaktır ama \(B_{1} \) altkümesinde olmayacaktır. Bu nedenle \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) altkümeleri de farklı olacaktır. Bu şekilde farklı her \(k \) elemanlı altküme için yine farklı bir \(n-k \) elemanlı bir altküme bulacağız. Demek ki \(n-k \) elemanlı altkümelerin sayısı en az \(k \) elemanlı altkümelerin sayısı kadar olacak.

Aynı küme için iki değişik altküme seçimi

Yukarıdaki şekilde üst tarafta büyük kümenin (toplam 8 elemanı var) 5 elemanlı bir \(A_{1}\) altkümesini seçtim. Bu kümede bir \(a \) elemanı var ve diğer önemsiz elemanları sadece noktalarla gösterdim. Bu \(a \) elemanı 8 elemanlı kümede bir tane olabileceğinden \(B_{1} \) kümesinde \(a \) elemanı yoktur. Şeklin altında da bu 8 elemanlı kümeden başka bir 5 elemanlı bir altküme seçtim ama bu altkümede \(a \) elemanı bulunmamakta. O zaman bu eleman seçmediğim \(B_{2} \) altkümesinde olmak zorunda. \(A_{1} \) ve \(A_{2} \) altkümeleri birbirlerinden farklı olacak şekilde seçilmişlerdi. Bu seçimler sonucunda elde ettiğimiz \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) altkümeleri de birbirlerinden farklıdır, çünkü birinde (\(B_{2}\)) \(a \) elemanı varken diğerinde bu eleman yoktur.

Bu altküme seçiminin tersten de çalıştığını görebiliriz, yani \(n-k \) elemanlı bir altküme seçtiğimizde otomatik olarak kalan \(k \) elemanlı altkümeyi de seçmiş oluruz. O zaman bir önceki paragraftaki bütün çıkarımları \(k \) ile \(n-k \) değerlerinin yerlerini değiştirerek aynen kullanabiliriz. Böylece son cümleyi de \(k \) elemanlı altkümelerin sayısı en az \(n-k \) elemanlı kümelerin sayısı kadar olmalı sonucuna ulaşacağız. Bu iki son cümle önermelerinin aynı anda doğru olduğu tek durum \(k \) ve \(n-k \) elemanlı altkümelerin sayılarının eşit olması durumudur.

Şimdi de biraz cebir yapalım ve aynı eşitliği gösterelim:

\({n \choose k} = \frac{n!}{k!\cdot{(n-k)!}} \) (Tanım)

\(=\frac{n!}{{(n-k)!}\cdot{k!}} \) (Çarpmanın değişme özelliği)

\(= \frac{n!}{{(n-k)!}\cdot{(n-(n-k))!}} \) (\(n – (n – k) = n – n + k = k\))

\(={n \choose {n-k}}\) (Tanım)

Günübirlik geziler (Worms – Martin Luther ve St. Petrus Katedrali)

Mannheim’dan trene binip Worms’a doğru yola çıktım. Zamanlamam da iyiydi, Mannheim’da yağmur şiddetlenmeye başlamıştı. Yirmi dakika sonra Worms’a geldiğimde zamanlamamın o kadar da iyi olmadığını anladım, yağmur şiddetlenmişti.

Katedrale doğru giderken bir parktan geçmem gerekti ve parkta aşırı yağmura rağmen Martin Luther anıtının fotoğraflarını çektim.

Martin Luther anıtındaki şehirlerin kolajı

Parkı geçtikten hemen sonra St. Petrus Katedrali’ne geldim. Oldukça büyük bir yapı kompleksi çağlar boyunca inşa edildiğinden gotik ve barok gibi değişik mimari özelliklere sahipmiş ama ben bu farkları anlayacak kadar bu konulara hakim değilim. Aşağıda dışarıdan çektiğim iki fotoğrafta belki bu mimari özellikler anlaşılıyordur.

Sonra içeri girdim. Bu sefer oldukça karanlık bir ortamdı. Aslında ortaçağ havasına çok uygun bir karanlık ama fotoğraf çekmek için çok uygun değildi. Yine de vitray pencereler çok güzeldi. Bazıları incilden hikayeler anlatırken bazıları da sanki soyut sanat örnekleriydi.

Bunlardan başka hiçbir anlam veremediğim heykeller de vardı.

Taştan süslemelere bir örnek. Bunlardan daha bir sürü var tabii ki.

Katedralin bu modeli üzerinde körler alfabesi ile neyin ne olduğu yazılmış. İlginç ve güzel bir hizmet.

Martin Luther’in topluluğa konuştuğu yer ayakkabılarıyla işaretlenmiş.

Dönüş yolunda da Worm’un meşhur olduğu ikinci konuyla ilgili önemli adreslere (biri hariç) gittim. Bunu da bir sonraki yazıda anlatırım.

Günübirlik geziler (Jesuitenkirche)

1 Kasım resmi tatilinden de faydalanıp çevreyi gezeyim dedim. Google’da Mannheim’da görülebilecek yerleri arattım ve ilk sırada Jesuitenkirche çıktı. Sokakların arasında kalıyor olması biraz rahatsız ettiyse de gidip görmeye karar verdim. İstasyona oldukça yakın sayılır, yürüme onbeş dakika filan sürdü. Vardığım zaman gerçekten de fotoğraf çekebilmek için pek bir açıklık olmadığını gördüm.

Fotoğrafı çektiğim yeşilliğin hemen arkamda kalan tarafında da Schiller’in bir heykeli bulunmakta.

Kiliseye vardığımda içeri fotoğraf makinesiyle paldır küldür dalmadan önce kapıda asılı olan ayin takvimini kontrol ettim. Normalde ayinler sırasında fotoğraf ve film çekmek yasaktır ama ayine katılmak serbest. Ben geldikten kısa süre sonra kapıya dilencilerin de gelmesiyle ayinin fazla sürmeyeceğini düşünüp kapıda beklemeye başladım. Tabii ki profesyönel dilenciler önce para istemeye başladılar ve sonra da fotoğraflarını çekmemi istediler ama ikisine de hayır dedim.

Kilisenin temeli Karl Philipp zamanıdna atılmış

İnşaat Karl Theodor zamanında bitirilmiş

Cizvitler tarafından kurulan bu kilise güneybatı Almanya’nın en önemli barok kiliselerinden biridir. Ayin bitip de içeri girdiğimde görüntü çok etkileyiciydi. Çok büyük bir kilise değildi ama çok renkli ve pencereler ve lambaların başarılı kullanımı sayesinde oldukça aydınlıktı.

Şimdi içeriden görüntülerle sizi biraz başbaşa bırakayım:

tepelerdeki işlemesiz pencerelerden epey ışık geliyor

Kilisenin duvarları bu tür tablolarla doluydu

ve tabii ki kilisenin olmazsa olmazı: Org

Dönüş yolunda barok sarayın önünden geçtim ama bakımda olduğundan açık değildi. İlkbaharda yeniden açılacakmış. O zaman orayı da gezeceğim.

Sağa ve sola doğru on yirmi kere daha bu büyüklükte bir yapı düşünün.

İstasyon’a döndükten sonra Mannheim’daki ikinci büyük kiliseyi internette tekrar aradım ama iki gün önce bulduğum, hatta daha önce bahçe kısmını gezdiğim bu kiliseyi bu sefer bulamadım. Bunun üzerine trene atlayıp bir sonraki hedefe doğru yola çıktım. Onu da başka bir yazıda anlatırım.

Wolkenbruch

Geçen hafta ormanda Wolkenbruch kaynağına kadar gittik ve oradan biraz su örneği aldım. Diyatome açısından oldukça verimli bir örnek oldu. Heralde tek tür vardı içinde ama oldukça fazlaydı. Tabii ki hala bunlar nasıl ayırt edilir bilmiyorum ve internetten öğrenebildiğim kadarıyla sadece belli bir açıdan çekilmiş fotoğraflar ile türü ayırt etmek mümkün olabiliyor.

https://www.instagram.com/p/B4H8s69JfnZ/

Bu açıdan türü tespit etmek mümkün değil . Bölünerek çoğalma bu karede (dairede) görülebiliyor.

https://www.instagram.com/p/B4H82gbJ8_X/

Bu açıdan tespit etmek mümkün ama fotoğrafın kalitesi buna izin verir mi bilmiyorum. Benim bilgim şimdilik yetmiyor.

https://www.instagram.com/p/B4H9MzKJKOY/

Bunun türünü bilmiyorum.

https://www.instagram.com/p/B4H9FJ-JMlh/

Bu ince tel şeklindeki yapılar çeşitli uzunluklarda ve oldukça fazla mevcuttu örnekte.

https://www.instagram.com/p/B4IATpcpxBJ/

Çan şeklinde bir canlı

kurtçuk?

Perceptron (İki girdi)

Yapay zeka ağlarında tek girdili perceptronlardan daha karmaşık ne olabilir? Tabii ki iki girdili perceptronlar. Bu animasyonda da geçen yazıdaki aynı sistemi kullandım. Dolayısıyla bunları tekrar anlatmayacağım. Bu animasyondaki ağdaki tek fark birbirlerinden bağımsiz iki girdi ve iki ağırlık olduğundan iki değişik çarpan elde ediyoruz ve bunları toplayabiliyoruz artık. Bu sefer iki girdinin düzlem koordinat sisteminde ne yaptığına grafikte bakarsak orijinden geçen bir doğru ile bu düzlemi ikiye ayırdığını görüyoruz. Yeşil bölgedeki girdiler için bu perceptron aktifleşecek ve kırmızı bölgedeki girdiler içinse aktifleşmeyecek. Tek girdili bir perceptron sayı doğrusunu iki bölgeye ayırıyordu, iki girdili perceptron da düzlemi iki bölgeye ayırıyor. Bu ayrım belki pek net görünmese de doğrusal bir şekilde yapılıyor, çünkü herhangi bir andaki ağırlık değerleriyle yazabileceğimiz fonksiyon şu şekilde oluyor:

\(o = sign(w_{1}\cdot i_{1} + w_{2}\cdot i_{2}) \)

Bu durumda çıktının aktif (1) olması için sign fonksiyonunun girdisinin pozitif olması gerekir. Bu da

\( w_{1}\cdot i_{1} + w_{2}\cdot i_{2} > 0 \)

eşitsizliği anlamına gelir. Ağırlıklar için sabit \(W_{1} \) ve \(W_{2} \) değerlerini alırsak ve girdileri de x ve y diye adlandırırsak bu eşitsizlik liseden tanıdığımız doğru eşitsizliklerine denk olur.

\(W_{1} \cdot x + W_{2} \cdot y > 0 \)

Böylece tek bir perceptronun düzlemi doğrusal bir şekilde ikiye ayırdığını gördük. Bu doğru şimdilik her zaman orijinden geçiyor ama ileride buna da bir çözüm bulacağız. Yine de bu türde, yani iki girdili perceptronlar ile belki neler yapabileceğimizi hayalimizde biraz canlandırabiliriz. Örneğin iki tane perceptron ile iki değişik yarı düzlemin kesişimlerini tanıyabiliriz. Burada tanımaktan kast ettiğim şey bu iki perceptronun da bu kesişim alanında aktif olması ve diğer durumlarda en fazla birinin aktif olmasıdır.

Bir dahaki yazıda düzlemi perceptron ile orijinden geçmeyen bir doğruyla iki bölgeye ayıracağım. Şimdilik bu linkten iki girdili perceptronla oynayabilirsiniz.

Perceptron (Yapay sinir ağları)

Yapay sinir ağları, yapay zeka sayesinde bir süredir yine oldukça popüler konulardan biri oldu. Yaklaşık çeyrek asır önce üniversitede bu dersi almıştım ve hoşuma gitmişti. Sanki yeterince hobim yokmuş gibi bu alandaki yeniliklere göz atmaya karar verdim. Yapay zeka uygulamalarını programlamak için olası en kolay yolların matlab ya da tensorflow tabanlı kütüphaneler olduğunu gördüm. Bu arada biraz python da öğrenebilirim belki dedim ve tensorflow kendimi akımına bıraktım.

Bu ikinci öğrenme aşamasında yaptıklarım üzerine yazılar yazmayı düşünüyorum. Sistem olarak Ubuntu 19.04 altında python 3.7 ve pip3 kullanıyorum. Editör olarak eclipse ve PyDev eklentisini (7.3 versiyonu) kullanıyorum. Bu sistemlerin kurulumu için internette bir sürü kaynak olduğundan bunlara şimdi girmeyeceğim.

İlk yazımda yapay sinir ağlarının temel taşlarından olan perceptron modeli üzerine bir animasyon göstermek istedim. Animasyonları mümkün olduğunca HTML 5 ile programlamak istiyorum. İlk animasyonda perceptron modelinin en basit halini programladım. Sadece bir girdisi ve tek bir ağırlık değeri var. Dolayısıyla hesaplamaları da oldukça kolay. Umarım anlaşılması da kolaydır. Bir sonraki animasyonda birden fazla girdisi olan perceptron programlayacağım.

Perceptron kabaca birden fazla girdisi ve bir çıktısı olan bir nöron modelidir. Perceptrona gelen girdiler önce her girdiye ait olan ağırlık değerleriyle çarpılır ve sonra bu çarpımlar toplanır. Bu toplamlar belli bir değerin üzerindeyse bu perceptron aktifleşir, değilse aktifleşmez.

Şimdi animasyonla biraz oynayalım. Girdi değeri bu animasyon için -1 ile 1 aralığında seçilebiliyor. Ağırlık değeri de -10 ile 10 arasında seçilebiliyor. Ardından başlat düğmesine basıldığında yapılan hesaplamalar ekranda gösteriliyor. En sonunda perceptron etkinleşmişse yeşil, etkinleşmemişse kırmızı oluyor. Etkinleşme için bu animasyonda signum fonksiyonunu kullandım. Yani toplamın sonucu sıfırdan büyükse bu fonksiyon 1 değerini veriyor. Diğer her durumda da 0 değerini.

Animasyonun altında bir sayı doğrusu üzerinde seçilmiş ağırlık değeri için hangi girdilerde perceptronun etkinleşeceğini (yeşil renkli kısım) ve hangi girdi değerleri için etkinleşmeyeceğini (kırmızı renkli bölge) çizdirdim. Bu gösterim için JSXGraph kütüphanesini kullandım. Bu şekilden de anlaşıldığı gibi eğer ağırlık değeri pozitif ise, pozitif girdiler için etkinleşme olacak, negatif değerlerde perceptronun çıktısı 0 olacak. Eğer ağırlık değeri negatif ise bu sefer perceptron negatif girdiler için etkinleşecek ve pozitif girdiler için 0 çıktısını verecek. Bunu matematiksel olarak da görmek kolay. Yukarıdaki diyagramda sadece bir tek girdi ve tek ağırlık olduğunu var sayalım. Animasyonda kullandığım f fonksiyonu şu şekildedir.

math-sgn-function-in-cpp How to Implement The Sgn Function in C++? c / c++ math programming languages

O zaman çıktı fonksiyonunu şu şekilde yazabiliriz:

\(o = sign(i\cdot{w}) \)

Eğer girdi (i) sıfırsa ya da ağırlık (w) sıfırsa, çıktı 0 olacaktır ( o = sign(0) ). Bunun dışındaki durumlar için ise aşağıdaki şekilde olacaktır.

\(o = sign((w > 0) \cdot{( i < 0)}) = sign(< 0) = -1 \)

\(o = sign((w > 0) \cdot{( i > 0)}) = sign(> 0) = 1 \)

\(o = sign((w < 0) \cdot{( i < 0)}) = sign(> 0) = 1 \)

\(o = sign((w < 0) \cdot{( i > 0)}) = sign(< 0) = -1 \)

Yukarıda w > 0, pozitif ağırlık değerleri, i > 0 da pozitif girdi değerleri anlamına geliyor. sign(>0) da sign fonksiyonunun girdisinin pozitif olduğu anlamına geliyor. Aynı şekilde < işaretini de bu değerlerin negatif olduğu durumlar için kullandım.

Yani bu basit perceptron ağırlığın sıfır olmadığı durumda sayı doğrusunu hep sıfır noktasında ikiye bölüyor. Sıfırın bir tarafı için -1 değerini üretirken, diğer tarafı için de 1 çıktısını üretiyor. Bu şekliyle oldukça sıkıcı bir zeka birimine benziyor ama ileride bu aksaklıkların üstesinden gelmenin yollarına bakacağız.

Ren nehrinde hayat

3 Ekim’de geçen yıl olduğu gibi Speyer’e gittim. Katedralde belki yine orgla Alman milli marşını çalarlar diye bekledim ama bu sefer çalınmadı, ya da ben yanlış zamanda gittim. Sonra ikinci planımı uygulamaya geçirdim ve Ren nehri kıyısına indim. Yanımda getirdiğim kavanoza biraz su aldım. Ondan sonraki günlerde mikroskopla bu suyu incelemeye başladım. Sanırım örneği suyun yüzeyinden aldığım için içinde çok fazla canlı bulamadım ama yine de boşuna bir çaba olmadı. Aşağıdaki fotoğrafları çekmeyi başardım.

https://www.instagram.com/p/B3unbrvJ8K3/

https://www.instagram.com/p/B3unB90pc01/

https://www.instagram.com/p/B3umxTspu2W/

https://www.instagram.com/p/B3umRDsJxqq/

https://www.instagram.com/p/B3ul1kZpe1s/

Demiryolları

Yirmi yıl önce Almanya’ya geldiğimde demiryolu ulaşımı bu kadar farklı olabilir demiştim. Öncelikle trenler oldukça dakikti. Almanca ve İngilizce anonsları anlamayan yabancılar bile planda yazan varış saatine bakarak varılan istasyonda rahatlıkla inebiliyordu. Trenlerin kapıları kolla değil dokunmatik düğmelerle açılıyordu ve de tren hareket ettikten sonra o kapıları açmak imkansızdı. Oysa İstanbul’dan İzmit’e defalarca vagonun dışında seyahat etmiştim. Almanya’daki trenler ayrıca çok ender durumlarda istasyonlar arasında durduğunda da kapıları kilitli kalmaktaydı. Oysa meşhur Ankara gezimiz sırasında bindiğimiz ekspres gece hiçbir ışıklandırmanın olmadığı yerlerde durduğunda en cesurlarımız trenden inip en uzak mesafeye kadar koşup geri gelmekteydi. Henüz GPSlerin sadece askeri amaçla kullanıldığı zamanlardı ve nerede olduğumuzu bilmiyorduk. O sırada tren kalksaydı sanırım okul idaresi bu tür gezileri yasaklamak için İstanbul’a geri dönmemizi beklemezdi.

Trenlerin içi de çok farklıydı. Yolcunun ihtiyacı olan bütün bilgiler elektronik olarak sürekli gösterilmekteydi. Bütün trenler klimalıydı ve bu nedenle açılıp kapanan pencereler de yoktu. Banliyö trenleri de İstanbul’la karşılaştırıldığında taşınacak insan sayısının çok daha az olması nedeniyel bizimkilere göre oldukça küçüktü.

Alman demiryolları ben Almanya’ya gelmeden kısa süre önce özelleştirilmişti. Bu farkları görünce demek ki özel sektör böyle büyük işlerin de altından kalkabiliyor diye düşünmüştüm.

Demiryolları da alışık olduğumuz diğer özel sektör şirketleri gibi arada sırada müşterileri arasında anket yapıyor. Yıllar önce karşılaştığım ilk ankete katılmıştım. Anketörün umduğu iyi notları vermemiştim ama. Özellikle trenlerdeki servislerden memnun musunuz sorusuna. Bu anketten birkaç gün önce trende acil tuvalete gitmem gerekmişti ve trenin tek tuvaleti de bozuktu. Mecburen ilk durakta inmiştim. Aciliyet devam ederken param olmadığını fark etmiştim ve bulabildiğim tek tuvalet paralıydı. Neyse ki şimdiye kadar ki tek dilenme denemem başarılı olmuştu da kapağı içeri atabilmiştim. İtiraf etmeliyim ki parayı veren adamın yüz ifadesinden anladığım kadarıyla o da birisinin tuvalet için para dileneceğini beklemiyordu.

Bir sonraki anketi birkaç ay önce gördüm. Bu sefer ankete katılmak istemedim ama, çünkü yanımda oturan çocuk ders çalışıyordu ve bunu fark etmeyen anketöre kızmıştım. Daha sonra bu pazar bir anket olsa ne cevap verirdim diye düşünmeye başladım. Bu yirmi yıl içinde demiryollarında neler olmuştu?

Artık trenler o kadar dakik değildi. Raylar ve istasyonlar aynı kalmıştı ama şehirlerarası seferlerin sayıları artmıştı. Bu da planlamayı çok zor ve problemlere açık hale getirmişti. Örneğin yıllardır plana göre 07:08 civarında gelmesi gereken banliyö treni hemen hemen her gün geciken şehirlerarası ekspres tren yüzünden hep gecikmeli geliyor. Plan ise asla değişmiyor.

Tren seferlerinde aksamalar olduğunda (teknik sorun, acil durumlar, intihar vakaları, grevler vb) eskiden demiryolları şirketi yolcuları götürmek için otobüs kiralardı. Zamanla ilk önce bu kiralanan otobüslerin ne zaman geleceği bilinmez oldu, saatlerce bekledik. Daha sonra hiç kiralanmadılar bile. İyi tarafından bakacak olursak artık bekleyerek zaman kaybetmiyoruz.

Bunlar kısmen öngörülemeyen durumlardı. Futbol maçları olan günlerde yolcu sayısının çok olacağını tahmin etmek çok zor değildir ama anlaşılan artık böyle günlerde ek seferler koymak ya da daha büyük trenleri sefere koymak imkansız.

Peki kötüleşmeyen hiçbir şey olmadı mı? Olmaz mı? Eskiden de bütün bilet alım işi bugünkü otomatlarla yapılıyordu. Bence bu otomatlarda bazı tasarım hataları var ve bunlar hala düzeltilmiş değil. Örneğin, Karlsruhe’ye gitmek istediğimi var sayalım. Aylık seyahat kartımla Wörth’e kadar (Karlsruhe’den bir durak öncesi) bedava gidebiliyorum. Yani sadece Wörth Karlsruhe arası için bilet almam lazım. Sorun şu ki otomatlar sadece bulunduğu yerden itibaren bilet veriyor. Bu durumda Wörth’e kadar gidip kalan yol için bileti oradan almam lazım. Tabii ki tren içinde otomat yok ve inip binerken büyük ihtimalle treni kaçıracağım. Sonuçta işe yarayan tek çözüm otomat yerine bilet gişelerinden bilet almak, fakat onlar da hafta sonları ya erkenden kapanıyor ya da hiç açık olmuyorlar.

Yiğidi öldürdüm ama hakkını yemeyeyim. Özel sektör o kadar da boş durmuyor. Trenler artık daha büyük oranda yeşil enerji kullanıyor. Ayrıca iklim değişikliği nedeniyle yükselen hava sıcaklıklarına karşı rayları beyaza boyayarak, genleşme problemlerine karşı da çözüm denemeleri başlatılmış.

Yine de bütün bu değişimleri alt alta koyup topladığımda bir sonraki ankette vereceğim not öncekinden daha düşük olacak gibi gözüküyor. Merak ettiğim tek şey, acaba özelleştirme olmasaydı durum daha mı kötü olurdu?

Şapka stratejisi (Çözüm)

Soru:

Bu tür sorular ilk bakışta bana da bir çok insana olduğu gibi imkansız gelir. Bu nedenle önce bu engeli aşmak için basit versiyonlarını çözemeye çalışırım. Eğer bu basit durum çözümleri bazen çözüm için genellenebilir ya da ispat için fikir de verebilir.

Bu nedenle önce soruyu iki kişilik bir grup için çözmeye çalıştım. Kırmızı şapkayı K, mavi şapkayı M ile gösterirsem iki kişilik bir grup için olası şapka dizilimleri KK, KM, MK ve MM olacaktır. Dizilimler simetrik olduğundan herhangi biriyle başlayabilirim diye düşündüm. Ayrıca hislerime göre ilk başladığım dizilimi herkesin doğru mu yoksa herkesin yanlış mı tahmin etmesi gerektiği de çok önemli değildi. O zaman KK dizilimi için herkesin doğru tahmin yapması gerektiğini varsaydım. Bu iki kişi de kendi başlarındaki şapkaları görmeyecek ama bu dizilim olduğu zaman ikisinin de K demelerini istiyorsak, şöyle basit bir kural tanımlayabiliriz.

1. K gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur.

O zaman gerçek durumda kafalarında KK şeklinde şapkalar varsa tahminleri de KK olacaktır ve oyunu kazanacaklar. Tabii ki oyuncuların her biri kendi kafasındaki şapkayı görmediğinden KM ya da MK dizilimleri için başka bir kural daha tanımlamak gerekecek. K gören kişi K diyeceğine göre cevabı yanlış olacak, çünkü K gören kişinin kafaşında bu dizilimlerde M olacaktır. İlk kuralı iptal etme şansımız olmadığına göre bu dizilimlerde bütün oyuncuların yanlış tahmin yapması gerekecek ve bunu garantilemek için aşağıdaki kurala ihtiyacımız olacak.

2. M gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur.

Bu iki kuralı kullanırsak MK diziliminde tahminler KM, KM diziliminde ise MK olacak. Yani bütün grup tamamen yanlış tahminler yaparak oyunu yine kazanacak.

Şimdi görülebilen şapkalar ile yapılabilecek bütün tahminleri kurallara bağladığımıza göre son dizilimin bu kurallara uygun bir şekilde oyunu kazandırıp kazandırmadığına bakalım.

MM diziliminde her oyuncu M göreceğinden ikinci kurala göre kendi şapkaları için M tahmininde bulunacaklar, yani grubun tahmini MM olacak ve bu da doğru cevap olduğundan oyunu kazanacaklar.

İki kişilik grup için çözüm çok basitti. Duruma biraz daha ısınabilmek için üç kişilik bir grup için de çözümü denedim. Bu sefer de aynı sırayı izledim. KKK dizilimi için doğru tahmin olan KKK cevabını üretmek için ilk kuralı tanımladım.

1. KK gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur.

İkinci adım olarak da KK gören ama kendi başında K yerine M olan kişinin dizilimine baktım. Bu durumda başında M olan birinci kurala göre yanlış tahminde bulunacağından diğerleri de yanlış tahminde bulunmak zorunda. Bunun çözümü de ikinci kuralda.

2. MK gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur.

Böylece MKK diziliminde tahminler KMM olacak, yani herkes yanlış tahminlerde bulunacak. Bir sonraki adım da MMK dizilimi olmalı. Elimizde MK gören kişi için kural olduğuna göre bu kuraldan MM gören kişi kuralına geçiş de kolay olacaktır. MMK dizilimindeki iki M de MK gördüğünden ikisi de M tahmininde bulunacak. Yani kafasında K olan da doğru tahmin yaparsa kazanacaklar. Bu durumda yeni kuralımız aşağıdaki gibi olmalı.

3. MM gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur.

Dizilimlerin kendi içindeki sıralamalarını göz ardı edersek (yani KM ve MK görmek aynı şeyler ise) o zaman bütün kuralları bulmuş olmam gerekiyor. Bu kurallar ile MMM dizilimini test edersek de oyuncuların KKK tahmini yapması gerekiyor. Herkes yanlış tahmin yaptığından grup oyunu yine kazandı. Aşağıda üç kişilik grup için çözümü bir tabloda sunuyorum.

[table id=67 /]

Hazır işe yarayabilecek bir şey bulmuşken dört oyuncu ile de deneyeyim dedim. Bunun için kyukarıdaki adımları uyguladım. Görmek istediğim şey biraz da kuralların sadece çoğunluğa mı yoksa sayısal değerlere mi bağlı olduğuydu. Yani KKK ile KKM görmek aynı tahmine mi yol açacaktı? Neyse yukarıdaki yöntemi adım adım uyguladım ve şu dört kuralı buldum. Bu kuralları kullanarak da aşağıdaki tabloyu elde ettim.

1. KKK gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur
2. KKM gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur
3. KMM gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur
4. MMM gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur

[table id=68 /]

Dört kişilik oyunda anladığım şey kuralların sadece basit bir çoğunluk kararı olmadığıydı, çünkü KKK görme ile KKM görme farklı renk tahminlerini gerektiriyordu.

Bu noktada hala bir ispattan uzağım ama şimdiden tekrar eden düzenli örnekler bulduğumu düşünüyorum. Örneğin kişinin gördüğü M sayısı tek sayı ise, kendi şapkası için M tahmininde bulunmalı ve eğer M sayısı çift ise bu sefer K tahmininde bulunmalı. Daha büyük oyuncu sayılarıyla bu düzeni kontrol etmek için açıkçası biraz tembelim. Bunun yerine ortaya attığım bu tezi ispatlamayı deneyebilirim.

N tane oyuncu olduğunu var sayayım. Bu oyuncuları 1 ve N-1 kişilik iki gruba ayırayım ve pozisyonu bir kişilik grup açısından düşüneyim. Var sayalım çift sayıda M görüyorum. O zaman ortaya attığım kurala göre göre K demem lazım. Eğer başımda K varsa bu doğru bir tahmin olacağından diğer herkesin de doğru tahminde bulunması gerekecek. Bakalım bu kuralla diğerleri de doğru tahminde bulunacak mı? Diğer gruptaki bütün K şapkalı oyuncular da benim gibi çift sayıda M göreceğinden hepsi de K diyecek. Demek ki K şapkalı herkes doğru tahminde bulunuyor. M şapkalılara bakayım bir de. M şapkalı herhangi biri tek sayıda M şapka görecektir, çünkü toplamda çift sayıda M şapka var ve kendisini çıkarınca tek sayıda kalır. Tek sayıda M gören de kurala göre M diyeceğinden M şapkalıların da hepsi M tahmininde bulunacak. Demek ki bu durum için kural oldukça güzel çalışıyor.

Şimdi yine çift sayıda M gördüğüm durumda kafamda M olduğunu var sayayım. Kurala göre K demem gerekecek. Bu tahminim yanlış olacağından oyunu kazanmak için herkesin yanlış tahminde bulunması gerekecek. Şimdi bunu kontrol edeyim. Benim başımda M varsa ve ben çift sayıda M görüyorsam o zaman toplamda tek sayıda M şapka vardır. Demek ki bütün K şapkalı oyuncular tek sayıda M görecek ve kurala göre hepsi M demek zorunda olduğundan hepsi de yanlış tahminde bulunacak. Buraya kadar çok güzel. M şapkalı bir oyuncu da bu sefer çift sayıda M göreceğinden kurala göre K tahmininde bulunacak. Yani M şapkalı herkes de yanlış tahminde bulunacak. Böylece oyunu yine kazanmış oluyoruz.

Grupta tek sayıda M gördüğüm durumda başımda K varsa kuralı uyguladığımızda herkesin yanlış tahmin yapacağını ve eğer başımda M varsa herkesin doğru tahmin yapacağını okuyuculara alıştırma olarak bırakıyorum.

Demek ki gerçekten de oyunu kazanmak için bu kural yeterliymiş:

Kural: Çift sayıda M gören K tahmininde bulunacak, tek sayıda M gören de M tahmininde bulunacak.