Cumartesi günü gölde yaptığım denemeler ve gözlemler sonunda şu sonuca varmıştım. Fotoğrafını çekmek istediğim kızböcekleri gölün kenarında vardı ama ya sayıca çok azalmışlardı ya da eskiden bulundukları köşelerde değillerdi. Ayrıca suya girip de çekim yapmak düşündüğüm kadar zor bir iş de değildi. Bunun üzerine pazar günü de bir deneme yapmaya karar verdim. Tahminler hava sıcaklığının otuz derecenin üzerinde olacağını söylüyordu. Sıcak ve güneşli hava kızböcekleri için iyi haberdi. Gölün hiç kimsenin uğramadığı tek köşesinde aradıklarımı buldum.
Bugün öğleden sonra her zamanki gibi sevişenleri seyretmek için yakınımızdaki göle gittim. Hava biraz kapalıydı ama daha sonra açıldı ve planladığım gözlemleri yapabildim. Aşağıda kısa günün karını fotoğraflarla belgeledim.
Uğurböceği larvası
Uğurböceği kozası
Avını yemekle meşgul bir kızböceği
Başka bir ziyafet sahnesi
Av bekleyen bir kızböceği
Calopteryx splendens – Çekebilmek için donuma kadar ıslandığım arkadaş
Soruda kare şeklinde bir kağıttan katlayarak ve sonunda keserek nasıl eikenar üçgen yapılacağı soruluyordu.
Şekil 1. Kare içinde eşkenar üçgen
\(\triangle{ABG}\) üçgenini elde etmek için \(\overline{AE}\) ve\(\overline{BF}\) doğru parçalarını bulmamız gerekiyor. Bu katlamaları yaptıktan sonra makasla bu doğru parçaları üzerinde kesim yaparsak aradığımız eşkenar üçgeni elde etmiş oluruz. Aşağıdaki çözümde sadece \(\overline{AE}\) doğru parçasının nasıl bulunacağını göstereceğim. \(\overline{BF}\) doğru parçası da kağıdın diğer tarafından başlanarak simetrik işlemlerle aynen bulunabilir.
Şekil 2. İspat
Hedefimiz AD kenarını sağa doğru 30° katlamak. Bunu yaptığımız zaman D noktası G noktası üzerine gelecek. Bu durumda G noktasının yerini bulmamız gerekiyor. G noktasından AB kenarına bir paralel çizelim ve bu paralelin AD kenarını kestiği noktaya H diyelim. Ayrıca katlama sonunda AE kenarı da oluşacaktır. AH doğru parçasının uzunluğuna a, HD doğru parçasının uzunluğuna da b diyelim. Bu durumda karenin bir kenarının uzunluğu a+b olur.
AG kenarının uzunluğu da a+b’dir çünkü katlama sonunda AD kenarı bu kenarı oluşturur ve AD kenarının uzunluğu a+b’dir. Şimdi şekildeki bazı açıları hesaplayalayım.
\(\measuredangle{AHG}=90\textdegree \) çünkü \({GH}\parallel{DC} \) ve \(\measuredangle{HDC} = 90\textdegree \).
\(\triangle AHI \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani \(\measuredangle{HIA} +\measuredangle{IAH} +\measuredangle{AHI} = 180\textdegree \).
\(\measuredangle{AHI}=90\textdegree \) ve \(\measuredangle{IAH} = 30\textdegree \) ise \(\measuredangle{HIA} = 180\textdegree – 90\textdegree – 30\textdegree = 60\textdegree \)
Bu durumda \(\triangle IGA \) üçgeni taban açıları eşit olduğundan (30°) ikizkenar üçgen olur. Şimdi I noktasından bu tabana bir dikme (IJ) indirelim. Bu dikme aynı zamanda kenarortaydır. Bunu görmek için \(\triangle{AJI} \) ve \(\triangle{GJI} \) üçgenlerinin eş olduklarını görmek yeterli (Açı-Kenar-Açı). Eğer iki üçgen eşse o zaman aynı açıların karşılarındaki kenarlarda eşit uzunluktadır. Yani \(\lvert \overline{AJ} \rvert=\lvert \overline{JC} \rvert= \frac {a+b}{2} \).
Son olarak \(\triangle{AHI} \) ve \(\triangle{AJI} \) üçgenlerine bakarsak Açı-Kenar-Açı eşliğinden bu iki üçgenin de eş üçgenler olduğunu görürüz. Buradan da Yani \(\lvert \overline{AH} \rvert=\lvert \overline{AJ} \rvert= \frac {a+b}{2} = a \rightarrow a = b \) eşitliğine ulaşılır. Demek ki G noktası AD ve BC kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üzerindeymiş.
Eşkenar üçgeni elde etmek için yapılacak adımlar:
1. kağıt CD kenarı AB kenarı üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.
2. D köşesi bu yeni oluşan çizgi üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.
3. Bir önceki adım C köşesi için tekrarlanır.
4. Oluşan son iki çizginin kesiştiği nokta birinci şekildeki gibi eşkenar üçgenin üçüncü köşesini verir.
Peki katlama işlemiyle bu eşkenar üçgenden daha büyük bir eşkenar üçgen elde edebilir miyiz? Evet!
Kare içine sığacak en büyük eşkenar üçgen tabii ki en uzun kenara sahip olandır. Şimdi birinci şekildeki üçgenin B köşesini karenin BC kenarı üzerinde hareket ettirmeye başlayalım.
Şekil 3. Daha büyük bir eşkenar üçgen mümkün
Üçgenin AB üzerindeki kenarını 15° döndürdüğümüzde kare içine sığan en büyük eşkenar üçgeni elde ederiz. AE kenarı tabii ki AB kenarından uzundur, dolayısı ile bu üçgen yukarıdaki çözümde bulunan üçgenden büyüktür.
Eğer \(\measuredangle{BAE} >15\textdegree \rightarrow \measuredangle{FAD} < 15\textdegree \)
Bu durumda AF kenarı AE kenarından kısa olur. Bu da üçgenin en uzun kenarının AF olmasını gerektirir, aksi durumda üçgen karenin sınırlarını aşar. Fakat bu AF kenarının uzunluğunun 15° için olan AF kenarından daha kısa olduğu da hemen görülebilir. Yani 15° döndürülmüş üçgen bu şekilde döndürülmüş üçgenler içinde en büyük alana sahip olanıdır.
Kare içindeki diğer bütün üçgenlerin (bir önceki çözümden büyük olabilecek) köşeleri karenin üç kenarı üzerinde olacaktır, yani karenin bir kenarı üzerinde üçgene ait nokta bulunmayacaktır. Bu üçgenleri de kabaca bir önceki en büyük üçgenle karşılaştırarak inceleyebiliriz.
Şekil 4. Daha da büyük bir eşkenar üçgen mümkün değil.
Eğer sorudan AEHD dikdörtgenini atarsak problem bir önceki probleme dönüşür. Elimizde artık daha küçük bir dikdörtgen olduğundan buraya sığdırabileceğimiz eşkenar üçgen daha önce bulduğumuzdan daha büyük olamayacaktır.
Şimdi en büyük eşkenar üçgenin nasıl katlanacağına bakalım.
Şekil 5. Nasıl katlamalı?
Kareyi önce ortasından EF doğrusu üzerinden ikiye katlayıp açalım. Şimdi AD kenarını D köşesi EF doğrusu üzerine düşecek şekilde katlayalım. Bu katlama AG doğrusunu oluşturacaktır. Bu durumda yukarıdaki şekli elde etmiş oluruz.
Katlama sırasında uzunluk değişmediğinden AD kenarı AH kenarı ile aynı uzunluktadır. Aynı işlem sağ tarafta da yapılsaydı BH kenarını da elde edecektik. Oluşan AHB üçgeninin her kenarı da a uzunluğunda olduğundan bu bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgenin her bir iç açısı 60°’dir. Dolayısıyla \(\measuredangle{BAH} = 60\textdegree \) olur.
Böylece aradığımız üçgenin bir kenarı olan AG kenarını bulmuş oluruz. Aynı yöntem daha sonra AB kenarı için de kullanılır ve eşkenar üçgenin BC kenarı üzerindeki ikinci köşesi de bulunur. Sonra bu köşeleri birleştiren son katlama ile son kenar da bulunmuş olur. Şimdi bu katlamaları da bir videoda görelim.
Yaşadığım yerde oldukça sık görünen ama çekingen olan bu kuşun yuvasını açıkçası insanlara bu kadar yakın bir yere yapacağını beklemiyordum. Garajın kapısının üst köşesine yaptığı yuvada dört adet yavrusu ile beraber yaşıyorlar. İnsanlar yaklaştığından yuvadan kaçıp yakın bir yere konuyorlar ve tehdit eder bir şekilde tık tık diye sesler çıkarıyorlar. Bu aileyi çok fazla rahatsız etmemek için sabah kamerayı garajın önünde bırakıp bahçeye gittim. Bakalım alet neler kaydetmiş?
Serkan’a matematik dersinde yardım etmem gerekiyordu ve konu bir tam sayının bütün pozitif bölenlerini bulmaktı. Tabii ki 5. sınıfta aranan sayılar bu kadar karışık tanımlanmıyor henüz. Aradıkları şeye kısaca bölenler kümesi (Teilermenge) deniyor.
Serkan’la ilk çalışmaya başladığımızda bölenler kümesinin bazı elemanları hep eksik kalıyordu. Serkan kafasına göre bir sırayla sayıları kafasında tek tek deniyordu ve tabii ki hangi sayıları denediğini unutuyordu. Ödevlerini kontrol ederken hep eksikler olduğunu söylediğimde de sinirleniyordu.
Bunun üzerine ilk iş olarak çözüm kümesinde kaç tane bölen olması gerektiğini hesaplayabileceği bir yöntem gösterdim. Bunun için sayıyı önce asal çarpanlarına ayırmak gerekiyor. Şansa asal sayıları derste işlemişlerdi. Bunun için verilen sayıyı 1 sayısına ulaşana kadar asal sayılara bölmek yeterli.
Sol sütundaki sayılar bölme işlemlerinin sonuçlarını, sağ sütundaki sayılar da soldaki sayıyı böldüğümüz asal sayıları gösteriyor. Sol sütunda 1 sayısına ulaştığımızda sağ sütun bize bu başta verilen sayıyı oluşturan asal sayıları verir. Bu işlemlerin sırasının sonuç açısından önemi yoktur ama en küçük asaldan en büyüğe doğru yapmak daha kolay olacaktır. Tabii ki Serkan da bölme işlemlerini (yani asal sayı seçimlerini) ilk başta karışık bir sırayla yapıyordu.
Sayıyı asal çarpanlarına ayırdığımıza göre verilen sayıyı artık bu asal sayıların çarpımı şeklinde yazabiliriz.
Sayıyı asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazabilmek bir sonraki adım için kolaylık sağlayacaktır ve Serkanlar kuvvetleri daha önce görmüştü. Eğer kuvvetler derste daha önce işlenmemişse daha başka yöntemler denenebilir. Örneğin Ümit bu konuyu daha önce öğrenmediğinden sayıyı kuvvetlerin çarpımı şeklinde yazmak yerine bir önceki adımda durmayı düşünüyorum. Belki Serkan’da da yeterli olabilirdi bu teknik ama aynı anda kuvvetleri de tekrar etmesini istiyordum. Yani şu kadarı da yeterli olabilir:
\(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \)
\(2\rightarrow 3 \)
\(3\rightarrow 1 \)
Asal sayıları sıraladıktan sonra her gruptaki elemanları saymak gerekecek. Yapılan işlem kuvvetlerle aynı olmasına rağmen kuvvet kavramını öğrenmeye gerek olmayacak.
Sayıyı oluştururken her asal sayıdan kaç tane kullandığımızı bulduktan sonra bu kuvvetlerin değerini bir artırıp birbirleriyle çarparsak o sayının kaç tane pozitif böleninin olduğunu buluruz. 24 için bu işlemi yapalım.
\((3+1) \cdot (1+1) = 8 \)
Kuvvetleri neden birer artırdığımızı Serkan’a anlatmadım ve kendisi de bunu merak etmedi. Bu işlemi kullanmaya başladıktan sonra biraz daha rahatlayacağımı düşünüyordum, çünkü artık kaç tane bölen bulması gerektiğini bilecekti. Yöntemi kullanmaya da başladı ama kısa süre sonra bir sonraki probleme geldik. Kaç tane bölenin eksik olduğunu biliyordu ama hangilerinin eksik olduğunu bulamıyordu.
Bu problemi çözmenin yolu da asal sayıları birbirleriyle sistemli bir şekilde çarpmak. Önce ona bütün asal çarpanları birbirleriyle çarpmasını söyledim ama bunu pek beceremedi, kendi başına da bir sistem bulamadı. Bunun üzerine yine bir teknik arayışına girdim. Kuvvetleri de bildiğinden şöyle bir notasyon denedim (24 için):
Yani her bir asal sayı için bir parantez ve her parantezin içine sayıdaki o asal sayının kuvvetlerini sadece arada biraz boşluk bırakarak yazmak. Boşluktan daha iyi bir operatör bulamadım, ne kadar az yeni şeyle tanışırsa o kadar iyi diye düşündüm. Eğer sayıların kuvvetleri henüz öğrenilmemişse bu sayılar doğrudan çarpılabilir ve ilk olarak da 1 sayısı eklenir. Yukarıda bölenlerin sayısındaki artı bir işlemi de bu 1 sayısı yüzünden gelmekte. Bu parantezler hazırlandıktan sonra soldan başlayarak her sayı diğer parantezdeki sayılarla çarpılacak. Çıkan sonuçlar yeni bir parantez içine yazılacak. Dikkat edilecek şey, iki parantez çarpılırken işlem tek parantez ile sonuçlanmalı.
Her parantezdeki asal sayılar ve kuvvetleri farklı olduğundan çarpımlar sonucu elde edilen sayılar da farklı olacaktır. Bu adımlar parantez çiftleri arasında tek parantez kalana kadar sürdürüldüğünde elde ettiğimiz sayılar verilen sayının pozitif tam sayılar kümesini oluşturur.
Serkan bu yönteme de çabuk alıştı ya da ben alıştığını sandım. Bir gün soruyu bir sayı vererek değil de asal çarpanları vererek sordum. Serkan bu soruyu hiç yapamadı. İlk başta çok saçma gelen bu durumu anlamam uzun sürmedi. Serkan adımları tek tek yapabilmesine rağmen bölenleri hala deneme yanılma ile buluyordu ve asal çarpanlarına ayrılmış olmanın ne anlama geldiğini bilmiyordu. Bunu bilemeyince orijinal sayıyı bulamıyordu ve deneme yanılma yöntemine geçemiyordu. Heralde kendisine sunduğum teknikler onu ikna etmeyi becerememişti ve bu yüzden kendi yöntemine dönüş yapmıştı. Bunun üzerine ikna çalışmalarına başladım. Daha çok örnekle sistemin kendiliğinden çalıştığını göstermeye çalıştım. Bu sırada tabii ki sayılar ve asal çarpanları arasındaki ilişkiyi de biraz daha kurcaladık. Bunun ne anlama geldiğine değinmedik ama, sadece asal çarpanlardan asıl sayıyı tekrar elde ettik ve verilen bir sayıdan asal çarpanları bulduk. Bir süre sonra Serkan bölenler kümesini hemen hemen eksiksiz bulabiliyordu. Hala bulabilir mi bilmiyorum ama kısa bir antrenmanla bu teknikleri yeniden hatırlayacağına inanıyorum. Şimdi sıradaki sorun bu konuyu Ümit’e öğretmek. Ümitler derste asal sayıları yeni öğrendiği için kuvvetlerin kullanılmadığı tekniği denedik ve Ümit’in performansı şimdiden oldukça ümit verici gözüküyor.
Yağmur yağınca bizim evin civarında da salyangozlar yollara dökülüyor ama bizimkiler geçen gün çektiğim türden farklı. Daha küçükler ve sanki daha hızlılar. Bu sefer videoda sadece yürüme sahnesi var.
