Şirkette bazen yapmam gereken işler varken küçük değişikliklere ihtiyacım oluyor. Bugün de işi rölantide yaparken youtube’da video seyredeyim dedim. Geçen binyılın ikinci yarısında MIT’de verilen bir bilgisayar dersine takıldım. Bazı derslerde hocalar kendi tecrübelerinden, kendi bilgeliklerinden bahsettiği için bu dersleri arada seyrediyorum. O dersteki bir cümleleri benim için genelde bütün o anlattığı konudan daha faydalı olabiliyor.
Konuya giriş dersinde hoca karekök hesaplama için İskenderiyeli Heron’un kullandığı yöntemi örnek olarak kullandı. Karekök öğrenim ve meslek hayatım boyunca sürekli kullandığım bir fonksiyondu ve nasıl hesaplandığını hiç düşünmemiştim. Lisede bunu kağıt kalemle yapan arkadaşlar vardı ama kullandıkları yöntemi öğrenmeyi düşünmemiştim. Ben bunu hesaplamaya kalksam sonucu heralde tahmini kökün yakınlarında taylor serileri yardımıyla arardım.
İskenderiyeli Heron’un yöntemi çok daha basit görünüyor ama. Peki bu yöntem nasıl işliyor?
Karekökünü bulmak istediğimiz sayı 40 olsun. Önce bir başlangıç noktası seçelim. Mesela 1. Her adımda bu başlangıç sayısını aradığımız sayıya yaklaştırmaya çalışacağız, yani her adımda güncellediğimiz bu başlangıç sayısı bir sonraki adımın başlangıç sayısı olacak. En iyisi bu örneği hareket halinde görelim.
Aradığımız sayının karesi 40 ve başlangıç noktamız 1.
\(\frac{1 + \frac{40}{1}}{2} = 20.5 \)
yani başlangıç sayısı ile aradığımız sayının karesinin başlangıç sayısına bölümünün aritmetik ortalamasını hesapladık. Bu sonuç bir sonraki adımın başlangıç sayısı olacak.
\(\frac{20.5 + \frac{40}{20.5}}{2} = 11.2256 \)
Bu şekilde diğer adımları da hesaplamaya devam edelim.
\(\frac{11.2256 + \frac{40}{11.2256}}{2} = 7.3944 \)
\(\frac{7.3944 + \frac{40}{7.3944}}{2} = 6.4019 \)
\(\frac{6.4019 + \frac{40}{6.4019}}{2} = 6.3250 \)
\(\frac{6.3250 + \frac{40}{6.3250}}{2} = 6.3245 \)
\(\frac{6.3245 + \frac{40}{6.3245}}{2} = 6.3245\)
Sadece dört ondalık basamak kullandığımdan bu noktadan sonra adımlarda bir değişiklik olmuyor. Peki bu bulduğumuz sonuç 40’ın karekökü mü?
\(6.3245² = 39.99930025 \)
Tabii ki değil ama oldukça yakın. Böyle basit bir yöntem için oldukça başarılı. Tabii ki bu yöntemle ilgili kafamda bazı sorular vardı. Birincisi neden çalışıyor?
Önce şunu bir kontrol edelim. Herhangi bir adımda bulduğumuz sayı verilen sayının karekökü ise bir sonraki adımın sonucu ne olur?
x sayısının karekökünü aradığımızı varsayalım. Yani bir adımda bulduğumuz sayı \(\sqrt{x} \) ise bir sonraki adım için hesabımız
\(\frac{\sqrt{x} + \frac{x}{\sqrt{x}}}{2} = \frac{\sqrt{x}\cdot{\sqrt{x} + x}}{2\sqrt{x}} = \frac{x + x}{2\sqrt{x}} = \frac{2x}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x}\)
Yani bu yöntem bir kere karekökü bulursa hep o noktada kalıyor. Peki şimdi ikinci soru: Bu yöntem her zaman kareköke yaklaşır mı?
Bunun da cevabı evet ve ispatı bu adreste mevcut. İspatta kullanılan adımlar kısaca şöyle. Her adımda elde ettiğimiz arasonuç sıfırdan büyüktür. İkinci adımdan itibaren elde ettiğimiz arasonuçlar aradığımız karekökten büyüktür ya da kareköke eşittir.İkinci adımdan sonra her adımda bulunan arasonuç bir önceki adımda bulunan arasonuçtan büyük değildir. Yani elde ettiğimiz dizi monoton azalan ve altta sınırlı bir dizi. Bu durumda bu dizinin limiti vardır ve bu yöntemde o limit verilen sayının kareköküdür.
Aslında ikinci soru birinci soruyu da içeriyor ama her zaman soruları doğru sırada soramayabiliyorum. O tarihlerde bu kadar basit ve güzel yöntemlerin biliniyor ve kullanılıyor olması gerçekten de etkileyici.