Tabii ki soruyu çözerken sadece saate bir anlık baktığımızı varsayacağız, yoksa hareket hızlarından hangi parçanın yelkovan olduğunu anlamak çok kolay olacaktır.
Önce biraz temel bilgilere bakalım. Yelkovanın saat üzerinde attığı her tur için akrep saadece bir saat ilerleyecek. Saat üzerinde oniki saat gösterildiğinden akrebin hızı yelkovanın onikide biridir. Akrebin aldığı yola x derece, yelkovanınkine y derece dersek aşağıdaki denklemi elde ederiz.
\(y=12\cdot{x} \)
Eğer x ve y değişkenlerinin yerlerini değiştirebilirsek o zaman o açılar için saatin kaç olduğunu kesin söyleyemeyiz (küçük bir yalan bu, buna ileride geri döneceğim!). O zaman ikinci denklemimiz de şu olur:
\(x=12\cdot{y} \)
Tabii ki bu iki denklemin oluşturacağı sistemi saat üzerinde yani modüler aritmetikle yazmamız lazım.
\(y \equiv 12\cdot{x} (mod 360) \)
\(x \equiv 12\cdot{y} (mod 360) \)
Birinci denklemdeki y değerini ikinci denklemde yerine koyarsak şu denkleme ulaşırız.
\(x \equiv 12\cdot{12\cdot{x}} (mod 360) \equiv 144\cdot{x} (mod 360) \)
Buradan da
\(143 \cdot {x} \equiv 0 (mod 360) \)
sonucuna ulaşırız.
Dolayısıyla akrebin her 360/143 derecelik hareketi için (yani 143 değişik pozisyon) oluşan pozisyon iki değişik (?) saate karşılık geliyor. Bu cümleyle beraber yukarıda da değindiğim küçük yalanıma geri dönmüş oldum. Eğer akrep ve yelkovan üstüsteyse iki değişik çözüm olsa da saatler aynı olduğundan doğru saati söylemek sorun olmayacaktır. Şimdi akreple yelkovanın üstüste olduğu durumlara bakalım.
Bu durumu gösteren denklem şudur:
\(x \equiv 12\cdot{x} (mod 360) \)
Yani
\(11\cdot{x} \equiv 0 (mod 360) \)
yani her akrebin hareket ettiği her 360/11 derecede bir akreple yelkovan üstüste geliyor. Bu da 11 kere oluyor. Burada küçük bir not da ekleyeyim. 11 sayısı 143 sayısını böldüğü için akreple yelkovanın üstüste geldiği durumlar yukarıdaki kararsız kaldığımız akrep yelkovan pozisyonlarının arasındadır. Dolayısı ile şimdi küçük yalanımdan doğru sonuca ulaşmak için basit bir çıkarma işlemi yapmam yeterli olacak.
143 – 11 = 132 değişik durumda akrep ve yelkovan farklı pozisyonlarda olacak ve her pozisyon da geçerli bir saati gösterecek. Böylece biz de saatin tam olarak kaç olduğunu söyleyemeyeceğiz. Tabii ki bu işlemler 12 saatlik bir saat içindi. Bir gün için bu sonucu iki ile çarpmamız lazım, yani sonuç olarak toplam 264 değişik durum olacak.