Yukarıdaki diagram yardımıyla şu basit sonuca ulaşabiliriz. Siyah karedeki bir at sadece beyaz kareleri tehdit edebilir. Aynı şekilde beyaz karedeki bir atın da yalnızca siyah kareleri tehdit edebileceğini çıkarabiliriz. Bu mantığı kullanarak satranç tahtasındaki beyaz (ya da siyah) karelere 32 adet at koyabiliriz. Peki bundan daha iyi bir çözüm var mıdır?
33 atın koyulabildiğini varsayalım. Eğer satranç tahtasını 4×4 şeklinde dört parçaya ayırırsak bir parçada en az 9 at olması gerektiğini görebiliriz. Eğer her parçada en fazla 8 at olsaydı, toplamda en fazla 32 at olacaktı. Şimdi a1-d1-a4-d4 kısmından oluşan 4×4’lük alanı inceleyelim. Bu alanı ikişer kareden oluşan 8 gruba ayıralım. Bu ikili kareleri öyle seçeceğiz ki birinde bulunan bir at diğer kareyi tehdit edecek. Örneğin grupları şöyle seçebiliriz: (a1, b3) – (b1, a3) – (c1, d3) – (d1, c3) – (a2, b4) – (b2, a4) – (c2, d4) – (d2, c4). Bu çiftler 4×4’lük alanın tamamını örtmekte. Şimdi her bir çifte birbirlerini tehdit etmeyecek şekilde birer at koyalım. Böylece 8 grup için 8 at koymuş olduk. Bu aşamada bu kareleri nasıl seçeceğimizi anlatmıyorum, sadece seçebildiğimizi var sayıyorum. Bu 8 atı koyabilirsek 9. atı koymak için yerimiz kalmayacaktır çünkü bu at da diğer 8 gruptan birine düşecektir. Her grupta şimdiden birer at olduğuna göre yeni koyulacak at kesinlikle tehdit altında olacaktır. Bu nedenle 4×4’lük bir alana 9 at koyamıyoruz ve bunu yapamayınca da satranç tahtasına 32’den fazla at yerleştiremiyoruz.
Bir başka ispat yöntemi de şöyle. At turu diye meşhur bir problem vardır. Bu meşhur problemin bir sürü çözümü vardır. Herhangi bir çözümü alıp hamleleri 1’den 64’e kadar numaralayalım. Her bir numara dolayısıyla tahta üzerindeki ayrı bir kareyi göstermektedir. Tahtadaki 33 at elde etmek için bu sayılardan 31 tanesini silmemiz yeterli. Bu sayıların 31 tanesini nasıl silersek silelim en az iki tane ardışık sayı kalacaktır. Bunu görmek için 1’den 64’e kadar sayıları (1, 2), (3, 4), …, (63, 64) şeklinden ikişer sayıdan olan ayrık ardışık sayı gruplarına ayırmak yeterli. Bu şekilde 32 grup elde ettik. Her bir gruptan birer sayı seçtiğimizde 33. at için bir sayı daha seçmemiz gerekecek ve bu da daha önce seçilmiş gruplardan biri olmak zorunda olacak. Böylece bir gruptan iki sayıyı da seçmek zorundayız ve bu iki sayı da ardışıktır. At turunda ardışık iki sayı ise bir atın bir hamlede bir kareden diğer kareye gittiğini söylemektedir. Yani bu iki karedeki atlar birbirlerini tehdit edecektir. Dolayısıyla satranç tahtasında birbirini tehdit edemeyecek şekilde 33 at koyamıyoruz.
Böylece satranç tahtasında birbirini tehdit etmeyen en fazla 32 at konulabileceğini görmüş olduk.