\(\frac{1}{3} \) olasılığını üretmek için yapmamız gereken tek şey birbirinden bağımsız eşit olasılıklı üç değişik olay bulmak ve geri kalan tüm olayları yok saymak. Böylece yeni sistemimizde her birinin olasılığı \(\frac{1}{3} \) olan üç olay bulunacak.
Hilesiz para için arka arkaya iki yazı tura atma olaylarını alalım. Yazı ve tura olasılıkları eşit olduğundan her ikili yazı turanın sonucu da eşit olasılıktadır. Bunları şöyle listeleyebiliriz.
\(p(YY) = p(Y)\cdot{p(Y)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \)
\(p(YT) = p(Y)\cdot{p(T)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \)
\(p(TY) = p(T)\cdot{p(Y)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \)
\(p(TT) = p(T)\cdot{p(T)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \)
Bu dört olaydan herhangi birini attığımız zaman istediğimiz sonucu elde ederiz. Örneğin iki kere tura gelme olayını atarsak, yani iki kere tura geldiğinde bunun yerine tekrar yine iki kere yazı tura atarsak, sadece her YY, TY ve YT olayları kalır ve her biri birbirinden bağımsız ve eşit olasılıktadır.
Eğer para hileli ise yukarıda tanımladığımız olaylarla problemi çözemeyiz çünkü eşit olasılıklı üç olay bulamayız.
\(p(Y)=p, p(T)=1-p, p\neq{\frac{1}{2}} \) olsun
\(p(YY) = p(Y)\cdot{p(Y)}=p\cdot{p} \)
\(p(YT) = p(Y)\cdot{p(T)}=p\cdot{(1-p)} \)
\(p(TY) = p(T)\cdot{p(Y)}=p\cdot{(1-p)} \)
\(p(TT) = p(T)\cdot{p(T)}=(1-p)\cdot{(1-p)} \)
Görüldüğü eşit olasılıklı iki olay var sadece (YT ve TY).
Bu durumda yapmamız gereken tek şey yazı turaları ikili gruplar halinde değil de üçlü gruplar halinde atmak. Şimdi bu olayların olasılıklarına bakalım.
\(p(YYY) = p(Y)\cdot{p(Y)}\cdot{p(Y)}=p\cdot{p}\cdot{p} \)
\(p(YYT) = p(Y)\cdot{p(Y)}\cdot{p(T)}=p\cdot{p}\cdot{(1-p)} \)
\(p(YTY) =p(Y)\cdot{p(T)}\cdot{p(Y)}=p\cdot{(1-p)}\cdot{p} \)
\(p(YTT) =p(Y)\cdot{p(T)}\cdot{p(T)}=p\cdot{(1-p)}\cdot{(1-p)} \)
\(p(TYY) = p(T)\cdot{p(Y)}\cdot{p(Y)}=(1-p)\cdot{p}\cdot{p} \)
\(p(TYT) = p(T)\cdot{p(Y)}\cdot{p(T)}=(1-p)\cdot{p}\cdot{(1-p)} \)
\(p(TTY) =p(T)\cdot{p(T)}\cdot{p(Y)}=(1-p)\cdot{(1-p)}\cdot{p} \)
\(p(TTT) =p(T)\cdot{p(T)}\cdot{p(T)}=(1-p)\cdot{(1-p)}\cdot{(1-p)} \)
Bu olaylar arasında olasılığı birbirine eşit üç olay seçmek kolay, örneğin YYT, YTY ve TYY aradığımız özelliğe sahip olaylardır. Yapılacak tek şey üç yazı tura ardından bu olaylar dışında başka bir sonuç çıkarsa bu olayı olmamış varsayıp yeniden üç kere yazı tura atmak.