Kategori: Bilmece

 

 

Ahmet ve Ayşe yukarıdaki şekilde gösterilen mağaranın önünde konuşmaya başlarlar:

Ahmet: Aaa, hadi gel şu mağarada oynayalım.

Ayşe: Çok iyi fikir.

Ahmet: Şimdi hatırladım, o mağaranın arkasında bir duvar vardı. Bir taraftan öbür tarafa geçmek imkansız.

Ayşe: Duvardan geçmek mümkün. Sadece sihirli kelimeyi bilmek yeterli.

Ahmet: Ne sihirli kelimesi? Kimse geçemez o duvardan.

Ayşe: Ben sihirli kelimeyi biliyorum ki. İstediğim zaman o duvardan geçebilirim.

Ahmet: İnanmıyorum sana. Nasıl bir sihirli kelimeymiş? Söyle bakalım!

Ayşe: Söylemem. Söylersem sen de bilirsin.

Ahmet: O zaman seninle geleyim. Duvardan geçerken göreyim seni.

Ayşe: Olmaz. Sihirli kelimeyi söylerken duyabilirsin. Ayrıca bunu bildiğimi başka kimsenin bilmesini de istemiyorum.

Ahmet: İyi de duvardan geçtiğini görmeden sihirli kelimeyi bildiğine nasıl inanacağım?

 

Ayşe, Ahmet’i duvardan geçebildiğine sırrını açıklamadan nasıl ikna edebilir?

 

Çözüm

Ormanın kuşları bir akşam yine Bilge Karga’yı görmeye gelmişler. Kalabalığı gören Bilge Karga ne olduğunu anlamak için dışarı çıkmış. Kuşlardan birine ne istediklerini sormuş.

Kuş: Komşu ormandan bir kuş geldi, Bilge Karga. Kesin büyücü. Çok korkuyoruz.

Bilge Karga: Nasıl büyücü? Neler yapıyor?

Kuş: Beynimizi okuyor.

Bilge Karga: Sakin ol ve bunu nasıl yaptığını anlat.

Kuş: Nasıl yaptığını bilmiyoruz. Belki sen biliyorsundur diye sana geldik.

Bilge Karga: Peki, şimdi sakince bu yeni kuşun ne yaptığını anlat.

Kuş: 1 ile 100 arasında aklımızda bir sayı tutmamızı istiyor. Sonra 1’den 100’e kadar bu tuttuğumuz sayı dışındaki sayıları istediğimiz sırada kendisine söylememizi istiyor. Bunu yapıyoruz ve hemen ardından aklımızda tuttuğumuz sayıyı biliyor.

Bilge Karga: Belki söylediğiniz sayıları not alıyordur.

Kuş: Hayır, hep beraber kontrol ettik. Sadece durup söylediğimiz sayıları dinliyor, başka hiçbir hareket yapmıyor.

Bilge Karga: Peki, yarın gelin, bunu nasıl yaptığını düşüneyim ben de.

Acaba ormana yeni gelen kuş bunu nasıl yapıyordu?

Yukarıdaki diagram yardımıyla şu basit sonuca ulaşabiliriz. Siyah karedeki bir at sadece beyaz kareleri tehdit edebilir. Aynı şekilde beyaz karedeki bir atın da yalnızca siyah kareleri tehdit edebileceğini çıkarabiliriz. Bu mantığı kullanarak satranç tahtasındaki beyaz (ya da siyah) karelere 32 adet at koyabiliriz. Peki bundan daha iyi bir çözüm var mıdır?

33 atın koyulabildiğini varsayalım. Eğer satranç tahtasını 4×4 şeklinde dört parçaya ayırırsak bir parçada en az 9 at olması gerektiğini görebiliriz. Eğer her parçada en fazla 8 at olsaydı, toplamda en fazla 32 at olacaktı. Şimdi a1-d1-a4-d4 kısmından oluşan 4×4’lük alanı inceleyelim. Bu alanı ikişer kareden oluşan 8 gruba ayıralım. Bu ikili kareleri öyle seçeceğiz ki birinde bulunan bir at diğer kareyi tehdit edecek. Örneğin grupları şöyle seçebiliriz: (a1, b3) – (b1, a3) – (c1, d3) – (d1, c3) – (a2, b4) – (b2, a4) – (c2, d4) – (d2, c4). Bu çiftler 4×4’lük alanın tamamını örtmekte. Şimdi her bir çifte birbirlerini tehdit etmeyecek şekilde birer at koyalım. Böylece 8 grup için 8 at koymuş olduk. Bu aşamada bu kareleri nasıl seçeceğimizi anlatmıyorum, sadece seçebildiğimizi var sayıyorum. Bu 8 atı koyabilirsek 9. atı koymak için yerimiz kalmayacaktır çünkü bu at da diğer 8 gruptan birine düşecektir. Her grupta şimdiden birer at olduğuna göre yeni koyulacak at kesinlikle tehdit altında olacaktır. Bu nedenle 4×4’lük bir alana 9 at koyamıyoruz ve bunu yapamayınca da satranç tahtasına 32’den fazla at yerleştiremiyoruz.

Bir başka ispat yöntemi de şöyle. At turu diye meşhur bir problem vardır. Bu meşhur problemin bir sürü çözümü vardır. Herhangi bir çözümü alıp hamleleri 1’den 64’e kadar numaralayalım. Her bir numara dolayısıyla tahta üzerindeki ayrı bir kareyi göstermektedir. Tahtadaki 33 at elde etmek için bu sayılardan 31 tanesini silmemiz yeterli. Bu sayıların 31 tanesini nasıl silersek silelim en az iki tane ardışık sayı kalacaktır. Bunu görmek için 1’den 64’e kadar sayıları (1, 2), (3, 4), …, (63, 64) şeklinden ikişer sayıdan olan ayrık ardışık sayı gruplarına ayırmak yeterli. Bu şekilde 32 grup elde ettik. Her bir gruptan birer sayı seçtiğimizde 33. at için bir sayı daha seçmemiz gerekecek ve bu da daha önce seçilmiş gruplardan biri olmak zorunda olacak. Böylece bir gruptan iki sayıyı da seçmek zorundayız ve bu iki sayı da ardışıktır. At turunda ardışık iki sayı ise bir atın bir hamlede bir kareden diğer kareye gittiğini söylemektedir. Yani bu iki karedeki atlar birbirlerini tehdit edecektir. Dolayısıyla satranç tahtasında birbirini tehdit edemeyecek şekilde 33 at koyamıyoruz.

Böylece satranç tahtasında birbirini tehdit etmeyen en fazla 32 at konulabileceğini görmüş olduk.

Satranç tahtasına birbirini tehdit etmeyecek şekilde en fazla kaç tane at konulabilir?

Küçük bir ormanda yaşayan kuşların tek eğlencesi dedikodu yapmakmış. Hatta bazı günler dedikodu yapmaktan avlanmayı ya da yiyecek toplamayı bile unutur olmuşlar. Bir süre sonra bunun böyle gidemeyeceğini anlamışlar. Bu sorunu çözse çözse bilge karga çözer deyip, karganın yuvasının yolunu tutmuşlar.

Bilge karga sorunu dinledikten sonra, “Çok kolay, dedikodu yapmayı bırakın, sorun kendiliğinden bitecektir” demiş. Bunu duyan diğer kuşlar “Aman bilge karga, biz dedikodusuz yaşayamayız. Kendimizden vazgeçtik, çocuklar için yardım istiyoruz senden. Ne olur hallet bunu.” demişler. Karga da “Hele bir anlatın bakalım, nasıl bir sorunmuş bu?” demiş ve kuşları dinlemeye başlamış.

“Başlangıçta her birimiz diğer kuşların bilmediği bilgilere sahip. Birbirimizin arkasından konuştuğumuzdan dedikodu her seferinde iki kuş arasında yapılıyor. Dedikodu bittiğinde iki kuş da birbirlerinin o ana kadar bildiği bütün bilgileri öğrenmiş oluyorlar ama hepimiz bütün dedikoduları öğrenmek istediğimizden bütün günümüz bir ona bir buna uçarak ve aynı dedikoduları defalarca dinleyerek geçiyor. Öyle bir yol bul ki yiyecek bulmak için bize daha çok zaman kalsın.”

Bunu duyan karga gülerek “E bundan kolay ne var? Hep beraber bir yerde toplanın ve dedikodunuzu topluca yapın, nasıl olsa akşam olduğunda herkes bütün dedikoduları öğrenmiyor mu?” demiş.

Kuşlar ise bu öneriye hep bir ağızdan itiraz etmiş. “Toplu yapamayız bilge karga, yanımızda bir üçüncü kuş bile olsa utanırız. Son ümidimiz sendin.” demişler.

Karga da pençesiyle gagasını kaşıyarak “Bunu bir düşüneyim. Yarın bu saatte bana gelin, çözümü size anlatayım” demiş.

Kuşlar da hemen bir çözüm bulunamamış olmasından ötürü hafif hayal kırıklığına uğramıs ama yine de umutlu bir şekilde “Tamam, yarın görüşürüz” deyip yuvalarına uçuşmuşlar.

 Karga acaba nasıl bir çözüm bulmuş?

Çözüm

Eşitlik durumunda ikinci oyuncu kazanacağına göre birinci oyuncu ilk hamlede ikinci oyuncuya flush royal imkanı vermemelidir. Bu durumda birinci oyuncu ilk hamleye flush royal ile başlayamaz, çünkü ikinci oyuncu bu hamleyi başka renkte bir flush royal ile cevaplar.

Örnek:

Birinci oyuncu ilk turda kupa A K Q J 10 seçerse ikinci oyuncu karo A K Q J 10 seçer ve ikinci turda hiçbir değişiklik yapmaz. Böylece oyun sonunda elinde bir flush royal olur ve kazanır.

İlk oyuncu ikinci oyuncunun flush royal imkanını elinden alırsa o zaman ikinci oyuncunun alabileceği en iyi el flush olur. Bu eli yenmek için birinci oyuncu ya flush royal yapmalı ya da daha iyi bir flush.

Birinci oyuncunun ilk hamlesine bakalım. İkinci oyuncunun royal flush yapmasını engellemek için her renkten A K Q J 10 sırasını rakibe bırakmayacak şekilde birer kart almak gerekecek. Örneğin dört renkten de A kartlarını alırsa, ikinci oyuncu flush royal yapamayacak, fakat şimdi birinci oyuncu bir sorunla karşı karşıya kalır. İkinci oyuncu da her renkten K kartlarını alırsa kendisi için en yüksek flush elini almayı garantileyecektir. K ile flush yapmasını engellemek için birinci oyuncu ikinci turda Q kartlarını almak zorunda kalacak ama ikinci oyuncu bir renkten J ile flush yaparak birinci oyuncunun o ana kadarki en iyi eli olan kare Ası yenecektir.

Demek ki birinci oyuncunun yaptığı ilk hamle ikinci oyuncuyu yeterince sıkıştıramadı. Aşağıya doğru yarışı hep ikinci oyuncu kazanıyor. Peki birinci oyuncu ilk hamlesinde ikinci oyuncuyu yukarıya doğru oynamak zorunda bırakabilir mi? Evet, bu mümkün. Birinci oyuncu ilk hamlesinde 10’luları alırsa hem ikinci oyuncunun flush royal yapmasını engeller hem de kendi flush royal tehdidini korur. Bu tehdidi engellemenin tek yolu ise 10’ludan büyük kartları almaktır. Bu hamle ise ikinci oyuncuya hiçbir şey kazandırmaz, çünkü 10’ludan büyük kartların olduğu bölümde zaten flush imkanı da kalmamıştı. Bu boşa giden hamleden sonra birinci oyuncu flush royal yapamayacaktır ama kalan kartlarla olası en büyük flush artık garantidir. Herhangi bir renkten 10 9 8 7 6 ile oyunu kazanacaktır, çünkü ikinci oyuncunun yapabileceği en iyi hamle bir renkten 9 8 7 6 5 olacaktır.

Demek ki bu oyunu birinci oyuncu  ilk turda 10’luları alarak her zaman kazanabilir. Birinci oyuncunun birinci turda seçeceği beşinci kart önemli değildir.

Bu poker oyunu türünde iki oyuncu şu kurallara göre oynuyor:

• Birinci oyuncu desteden (52 kartlık normal oyun destesi) istediği 5 kartı seçiyor.
• İkinci oyuncu kalan kartlardan istediği 5 kartı seçiyor.
• Birinci oyuncu elindeki kartların istediği kadarını kenara ayırır ve desteden aynı miktarda kart seçer.
• İkinci oyuncu elindeki kartların istediği kadarını kenara ayırır ve desteden aynı miktarda kart seçer.

Bu aşamada kimin eli daha iyiyse o kazanır.

Aşağıda ellerin iyiden kötüye doğru sıralaması verilmektedir:

1. Flush Royal: Aynı simgeden (maça, kupa, karo ya da sinek) A, K, Q, J, 10. Her simge aynı değerde.
2. Straight Flush: Aynı simgeden ardışık herhangi 5 kart.
3. Kare: Aynı değerdeki karttan 4 tane, örneğin dört tane As.
4. Full house: Bir kart değerinden 3 başka bir değerden de 2 kart. Örneğin 3 tane kız ve iki tane vale.
5. Flush: İki numaralı şartı sağlamayan aynı simgeden 5 kart.

Eşit seviyedeki el değerlerinde en yüksek kart eşitliği bozar. Örneğin birinci oyuncu maça K,Q,J,10,9 ve ikinci oyuncu da kupa Q,J,10,9,8 kartlarını seçmişse birinci oyuncu kazanır çünkü K daha yüksek karttır. Eşitlik yine bozulamıyorsa ikinci oyuncu kazanır.

Bu oyunu hangi oyuncu nasıl bir stratejiyle kazanır?

Açıklamalar: Oyuncular kartları desteden görerek seçiyorlar. Ayrıca birbirlerinin seçtikleri ve değiştirdikleri kartlarını da görüyorlar.

Elimizde ağırlıklarını bilmediğimiz 10 metal küre var. Bunların en ağır ve en hafifini çift kefeli terazi yardımıyla en az kaç tartıda bulabiliriz?

 

Çözüm

Dizili paraları soldan sağa doğru \(P_{1}, P_{2},\dots{,P_{n}} \) şeklinde gösterelim. Soruyu önce daha basit hallerde inceleyelim. Örneğin sadece iki para olsun. Bu durumda birinci oyuncu \(P_{1} \) ve \(P_{2} \) paralarından daha değerli olanı alır ve oyunu kazanır. Eğer iki para da oyun berabere biter.

Dört parayla başlarsak biraz daha ilginç bir oyun elde ederiz. Eğer birinci oyuncu \(P_{1} \) parasını alırsa rakip ne yaparsa yapsın \(P_{3} \) parasını da alabilir. Aynı şekilde \(P_{4} \) parasıyla da başlarsa her hamleye karşı \(P_{2} \) parasını da alabilir.

Bu mantığı çift sayılı herhangi bir para adedi için genelleştirebiliriz. Yani oyuna başlayan oyuncu isterse bütün tek numaralı ya da çift numaralı paraları alabilir. Peki bu gözlem işimize nasıl yarayabilir?

Oyuna başlamadan önce birinci oyuncu \(S_{tek}=P_{1}+P_{3}+\dots{+P_{47}+P_{49}}\) ve \(S_{cift}=P_{2}+P_{4}+\dots{+P_{48}+P_{50}} \) toplamlarını hesaplar. Bu toplamların büyük olanındaki paraların hepsini alacak şekilde hamlelerini yapar. Toplamlardan biri diğerinden büyükse bu çözüm ile her zaman kazanır. Yani bu stratejiyle birinci oyuncunun kaybetme şansı yok.

Peki toplamlar eşit olursa birinci oyuncu nasıl bir strateji kullanmalıdır?