Kategori: Bilmece

Soru

Tabii ki soruyu çözerken sadece saate bir anlık baktığımızı varsayacağız, yoksa hareket hızlarından hangi parçanın yelkovan olduğunu anlamak çok kolay olacaktır.

Önce biraz temel bilgilere bakalım. Yelkovanın saat üzerinde attığı her tur için akrep saadece bir saat ilerleyecek. Saat üzerinde oniki saat gösterildiğinden akrebin hızı yelkovanın onikide biridir. Akrebin aldığı yola x derece, yelkovanınkine y derece dersek aşağıdaki denklemi elde ederiz.

\(y=12\cdot{x} \)

Eğer x ve y değişkenlerinin yerlerini değiştirebilirsek o zaman o açılar için saatin kaç olduğunu kesin söyleyemeyiz (küçük bir yalan bu, buna ileride geri döneceğim!). O zaman ikinci denklemimiz de şu olur:

\(x=12\cdot{y} \)

Tabii ki bu iki denklemin oluşturacağı sistemi saat üzerinde yani modüler aritmetikle yazmamız lazım.

\(y \equiv 12\cdot{x} (mod 360) \)

\(x \equiv 12\cdot{y} (mod 360) \)

Birinci denklemdeki y değerini ikinci denklemde yerine koyarsak şu denkleme ulaşırız.

\(x \equiv 12\cdot{12\cdot{x}} (mod 360) \equiv 144\cdot{x} (mod 360) \)

Buradan da

\(143 \cdot {x} \equiv 0 (mod 360) \)

sonucuna ulaşırız.

Dolayısıyla akrebin her 360/143 derecelik hareketi için (yani 143 değişik pozisyon) oluşan pozisyon iki değişik (?) saate karşılık geliyor. Bu cümleyle beraber yukarıda da değindiğim küçük yalanıma geri dönmüş oldum. Eğer akrep ve yelkovan üstüsteyse iki değişik çözüm olsa da saatler aynı olduğundan doğru saati söylemek sorun olmayacaktır. Şimdi akreple yelkovanın üstüste olduğu durumlara bakalım.

Bu durumu gösteren denklem şudur:

\(x \equiv 12\cdot{x} (mod 360) \)

Yani

\(11\cdot{x} \equiv 0 (mod 360) \)

yani her akrebin hareket ettiği her 360/11 derecede bir akreple yelkovan üstüste geliyor. Bu da 11 kere oluyor. Burada küçük bir not da ekleyeyim. 11 sayısı 143 sayısını böldüğü için akreple yelkovanın üstüste geldiği durumlar yukarıdaki kararsız kaldığımız akrep yelkovan pozisyonlarının arasındadır. Dolayısı ile şimdi küçük yalanımdan doğru sonuca ulaşmak için basit bir çıkarma işlemi yapmam yeterli olacak.

143 – 11 = 132 değişik durumda akrep ve yelkovan farklı pozisyonlarda olacak ve her pozisyon da geçerli bir saati gösterecek. Böylece biz de saatin tam olarak kaç olduğunu söyleyemeyeceğiz. Tabii ki bu işlemler 12 saatlik bir saat içindi. Bir gün için bu sonucu iki ile çarpmamız lazım, yani sonuç olarak toplam 264 değişik durum olacak.

Acemi saatçinin biri öyle bir saat yapıyor ki, bu saatin akrep ve yelkovanı aynı uzunlukta ve şekilde. Gün içinde kaç değişik anda bu saatin tam olarak kaçı gösterdiğini anlayamayız?

Çözüm

Prensle prenses tam evlenme hazırlığındayken prens acı haberi alır. Prenses kaçırılmıştır. Söylentiye göre de mantık adasına kaçırılmış. Mantık adasında iki kabile yaşamaktadır. Bir kabile sadece doğruyu söyleyenlerden oluşmaktadır, diğeri de sadece yalan söyleyenlerden. Adanın kralı da bu kabilelerden birinden ama hangisinden olduğu bilinmiyor. Kral hakkında bilinen tek şey o adada o an olan ve daha önce olmuş olan her şeyi biliyor olması.

Prens bir koşu adaya gidiyor ve kralla görüşüyor. Ona şu soruları soruyor:

Prenses mantık adasında mı?

Prensesi gördünüz mü?

Kralın bu sorulara verdiği cevapları (cevapların evet ya da hayır olduğu kesin ama) bilmiyoruz ama prensin bu cevaplarla prensesin mantık adasında olup olmadığını bulduğunu biliyoruz.

Prenses mantık adasında mı?

Çözüm

Soru

Herhangi üç korsanın bu sandığı açamaması için olası her üç korsanlık grup için bir farklı kilit kullanılması lazım. Bu kilidin anahtarlarını da bu üç kişi dışındaki herkese vermek lazım. Bu şekilde iki şeyi garantilemiş oluruz. Herhangi üç kişinin açamayacağı bir kilit bulunduğundan dörtten az kimse bu sandığı açamaz ve herhangi dört kişi de bu sandığı açabilir, çünkü bu dört kişi içinde bir üçlü grup bir kilit hariç diğer hepsini açabilir ve kalan dördüncü kişi de bu son kilidi açabilir.

O zaman toplam kaç kilit gerektiğini hesaplayalım. Soruda 7 korsan olduğuna göre bu yedi korsanın üçlü kombinasyonları kadar kilit gerekecektir.

\({7\choose3}=\frac{7\cdot{6\cdot{5}}}{3\cdot{2\cdot{1}}}=35 \)

Demek ki toplam 35 kilit ile bu sorun çözülebilir.

Peki korsanlar kaçar anahtar almalı? Her üçlü korsan grubu için bir kilit taktık ve bu kilidin anahtarlarını diğer dört korsana verdik. Yani toplamda \(35\cdot{4}=140 \) adet anahtar dağıttık. Dolayısıyla kişi başına da \(140 : 7 = 20 \) anahtar düşer.

7 korsan bir hazine buluyor ve bütün paraları büyükçe bir sandığa koyuyor. Bu sandığı kilitlemek istiyorlar ama bunu öyle yapmak istiyorlar ki sandığı ancak en az 4 korsan beraber açabilsin. Herhangi 3 korsan açamayacak ama herhangi 4, 5, 6 korsan ya da hepsi birden açabilecek. Her kilidin birden fazla anahtarı olabilir ama bir anahtar sadece bir kilidi açabilir. Bu durumda sandığı kilitlemek için en az kaç kilit gerekir? Korsanlar kaç anahtar almalı?

Soru

Elimizdeki tamkare plakalar 1 ve 4, tamkare olmayanlar da 2, 3 ve 5’tir. Döner kavşaktaki sürücülerden biri önünde ve arkasında tamkare bir plaka görseydi kendi plakasının tamkare olmayacağını hemen anlayacaktı. İlk turda herkesin bilmiyorum demesi bu ihtimali ortadan kaldırdı, yani tamkare plakalar aralarında bir araç olacak şekilde dizili değil. Bu durumda kalan tek olasılık tamkare plakaların arka arkaya olmaları.

Yukarıdaki şekilde de görüldüğü gibi 1 ve 4 plakalı araçlar arasında sadece bir araç varsa bu durumda o araç (şekildeki 3 plakalı araç) ilk soruya rahatlıkla hayır cevabını verebilir. Ayrıca şekilde yine görüldüğü üzere iki araç arasında bir tarafta sadece bir araç varken diğer tarafta da iki araç vardır. Bu nedenle yukarıdaki paragrafta iki tamkare plakalı araç arka arkaya olmalıdır dedim.

Eğer iki tamkare plakalı araç arka arkaya ise o zaman bu iki araç ve bunların önündeki ve arkasındaki birer araç da ya önde ya da arkada sadece bir tane tamkare plakalı araç görecektir.

Bu şekilde de görüldüğü gibi 1 plakalı araç sadece 4 plakalıyı, 4 plakalı 1 plakalıyı, 3 plakalı 4 plakalıyı ve son olarak da 2 plakalı 1 plakalı aracı görebilir. Bu bilgi ise hiçbiri için yeterli olmayacak ve ikinci turda da kendi plakalarının tamkare olup olmadığını bilemeyecekler. Kendi plakasının tamkare olmadığını sadece iki tamkare olmayan plakayı gören sürücü bilecektir. Bu da soruda verildiği üzere Ebru’dur. Demek ki Ebru’nun önünde ve arkasında tamkare olmayan plakalı araçlar vardır.

Dönel kavşaktaki araçları artık trafiğin sağdan ilerlediği yerler için göstereceğim. Bu durumda araçlar kavşakta saat yönünün tersi istikametinde ilerlemektedirler. Son konuşmaya gelindiğinde araç sürücüleri ile bilinen durum aşağıdaki şekildeki gibidir:

Son soruya cevaplar verilmeden önce bütün sürücüler bu şekildeki bilgilerden haberdardır. Biz araçta olmadan bu sonuçlara ulaşabildiysek onlar da bu sonuçlara ulaşabilmiştir.

Didem burada arkasındaki araç olarak Ebru’nun aracını görüyor ve kendi aracının plakasının da tamkare olmadığını biliyor. Eğer Ebru’nun aracının plakası 2 olsaydı rahatlıkla evet cevabını verecekti. Ebru’nun aracının plakası 5 olsaydı da hayır cevabını verecekti. Bu iki cevabı da veremediğine göre Ebru’nun aracının plakası 3 olmalı. Şimdi bu bilgi ışığında şeklimize yeniden bakalım.

Şimdi Betül ve Ebru hayır diyor. Ebru, Ayşe’nin aracının plakasını görüyor ve hayır diyor. Demek ki Ayşe’nin aracının plakası 3’ten büyük, yani 5 olmalı. Ayşe’nin aracının plakası 5 olursa Didem’in aracının plakası da 2 olmalı. Betül de kendi aracının plakasının 1 ya da 4 olması gerektiğini biliyordu. Arkasındaki araç Canan’ın aracı olduğuna ve bunun plakası da kendininkinden küçük olmadığına göre Betül’ün aracının plakası 1 ve Canan’ın aracının plakası da 4 olmalı. Şimdi şeklimize yeniden bakalım.

Bu son tablo Ayşe’nin ve Canan’ın son cevaplarına da uygun durumdadır. Ayşe’nin aracının arkasında Betül’ün aracı var ve Canan’ın aracının arkasında da Didem’in aracı var.

 

Bu soruyu da Alex Bellos’un the guardian’daki köşesinden aldım.

Bir dönel kavşağa 5 araç giriyor. Sürücüler sırayla Ayşe, Betül, Canan, Didem ve Ebru. Araçların plaka numaraları da 1, 2, 3, 4 ve 5 ama bu sırayla olmak zorunda değil. Her sürücü önündeki ve arkasındaki araçların plakalarını görüyor ama kendi aracınınkini göremiyor. Her sürücü diğer sürücülerle kulaklık ve mikrofon aracılığıyla konuşabiliyor.

Birden kulaklıklarda bir ses duyuyorlar:

– Aracınızın plakası tamkare mi?

Hep birden bilmediklerini söylüyorlar.

Aynı ses tekrar soruyor.

– Aracınızın plakası tamkare mi?

Ebru hariç herkes bilmediklerini söylüyor. Ebru ise hayır cevabını veriyor. (Ebru da dahil herkes aynı anda cevap veriyor)

Aynı ses yine duyuluyor.

– Aracınızın plaka numarası arkanızdaki aracın plaka numarasından büyük mü?

Didem bilmediğini söylüyor.

Ardından Betül ve Ebru hayır diyorlar.

Sonra da Ayşe ve Canan’ın evet cevapları geliyor.

Herkesin aracının plaka numaralarını bulun.

 

Soru:

Olası çözümlerin biri aşağıdaki tabloda görülebilir.

[table id=44 /]

Elimizde biri 9 litre diğeri de 4 litre hacimli iki kova ve sınırsız su var. Sadece bu kovaları kullanarak kovaların birinde (tabii ki 9 litre olanı) tam 6 litre su elde edin.

Çözüm