Kategori: Bilmece

Retrograde (Çözüm)

Soruda beyaz şahın bulunabileceği tek kare aranıyor ve son birkaç hamlenin ne olduğu soruluyor.

Bu pozisyonda (beyaz şahın da yerine koyulduğu durumda) hamle sırası beyazda olamaz. Çünkü ya şahı fille alacaktır (bu durumda siyahın son hamlesi kurallara uygun değildi) ya da beyaz şahı b3 karesine getirerek başka bir kurallara aykırı pozisyon yaratacaktır. O zaman bu pozisyonda son hamleyi beyaz yapmıştır diyebiliriz.

Beyaz fil şah çekmiş durumda ve a4 karesine d1-a4 diyagonalinden gelmiş olamaz, yoksa oradan da şah çekmiş olurdu. Beyazın son hamlede fil ile şah çekebilmesinin bir başka yolu da b3 ya da c2 karesindeki başka bir beyaz taşı oynayarak olabilir. Akla ilk gelen aday ise beyaz şah tabii ki. Beyaz şah c2 karesinde olamayacağından b3 karesinde olmalı. b3 karesinden hem a3 hem de c3 karesine gidebilir. Hangi yolun olası olduğunu görmek için bu pozisyona bir bakalım:

Bu pozisyonda da benzer sorunu diğer renklerle yaşıyoruz. Siyah hem kale hem de fille şah çekmiş. Bu sadece açarak şah çekince olabilir ama siyah kale fil ile şah arasında olamazdı ve aynı şekilde siyah fil de siyah kaleyle şah arasında olamazdı. Bu pozisyon da ümitsiz gibi gözüküyor.

İyice ümitsizliğe kapılmadan önce acaba kale ile beyaz şah arasında ya da siyah fil ile beyaz şah arasında başka bir taş olsa açarak şah çekilebilir miydi diye düşünelim. Örneğin siyah kale ile beyaz şah arasında bir fil olsa:

Siyah b4 karesindeki fili a3 ya da c3 karesine oynayarak kale ile şah çekebilir ama bu hamle kurallara aykırı, çünkü d5 karesindeki fil zaten şah çekiyor. Bir de siyah fil ile şah arasında bir taş koyalım:

Aynı sorun burada da var. Siyah atı çekerek şah çekebilir ama kale zaten şah çekmekte. Yine çıkmaz sokak.

Acele etmeyelim. Ya hem kale ile beyaz şah arasında hem de d5 fili ile beyaz şah arasında bir taş varsa? O zaman siyah kurallara uygun bir hamle yapabilir ama bu sefer de başka bir sorun var. İki taşın birden bulundukları yerleri terk etmesi lazım. Bu nasıl olacak peki?

Şansımıza buna izin veren bir hamle var ve bu hamlenin baş kahramanları da piyonlar.

Eğer beyaz piyon son hamlede iki kare birden ilerlediyse siyah piyon beyaz piyonu alarak c3 karesine ilerleyebilir. Bu hamleye geçerken almak (en passant) deniyor. Bu hamleden sonra beyaz şah da c3 karesindeki siyah piyonu alabilir ve son pozisyona ulaşılır. Demek ki beyaz şah c3 karesindeymiş.

Başlangıçtan itibaren hamlelere bir bakalım.

İlk pozisyon için bir sürü ihtimal var ama bu çok önemli değil.

1. ... Fd5+



2. c4 bc+

3. Şc3

Ve beyaz şah bulunabileceği tek kareye ulaştı.

Kralın vezirleri

Kral yine bir gün vezirlerinin ne kadar akıllı olduklarını anlamak için bir test yapmak istemiş. İki vezirini çağırmış ve onlara kuralları anlatmış.

İkinci vezir odanın dışında beklerken kral boş satranç tahtasının bazı karelerine (belki de hepsine) birer taş koyacak. Daha sonra birinci vezire bu 64 kareden birini gösterecek. Sonra birinci vezir bir kare seçecek (isterse kralın seçtiğinden başka bir kareyi seçebilir) ve bu kare eğer boşsa buraya isterse bir taş koyabilecek ya da bu karede zaten bir taş varsa isterse bu taşı oradan alabilecek. Bu hamlenin ardından ikinci vezir odaya alınacak ve sadece tahtaya bakarak kralın seçtiği kareyi bulacak. Testten önce iki vezir beraber bir strateji üzerinde çalışacaklar. Bundan sonra aralarında yazılı ya da sözlü bir iletişim olmayacak.

Vezirler bu problemi nasıl çözdüler?

Eğer birinci vezir, kendi seçtiği kare boşsa oraya taş koymak ve doluysa taşı almak zorundaysa stratejileri ne olmalı?

Çözüm

Madalyonlar – 1 (Çözüm)

Soru

Tartıların anlamlı olabilmesi için sol kefedeki beklenen toplamla sağ kefedeki beklenen toplam eşit olmalı. Ancak bu durumda terazi eşit demezse bu bilgiyi doğru değerlendirebiliriz.

Şu şekilde iki tartı alalım

1 + 4 = 2 + 3

Bir gramlık ve dört gramlık madalyonları sol kefeye, iki gramlık ve üç gramlık madalyonları da ikinci kefeye koyduk. Aralarında eşittir işareti koydum ama bu sadece bir beklenti, aslında bu eşitliğin probleme göre eşit olması da mümkün değil ama yine de öyle yazdım.

İkinci tartımız da

1 + 3 = 4

olsun.

Şimdi olası durumları inceleyelim

1 + 4 > 2 + 3     (sağ kefe hafif) : 2 veya 3 hafif olan madalyondur1 + 3 = 4         (iki taraf da eşit) : 3 normal ise hafif olan madalyon 2 olmalıdır.
1 + 4 > 2 + 3     (sağ kefe hafif) : 2 veya 3 hafif olan madalyondur
1 + 3 < 4         (sol kefe hafif) : 3 hafiftir.
1 + 4 > 2 + 3     (sağ kefe hafif) : 2 veya 3 hafif olan madalyondur
1 + 3 > 4         (sağ kefe hafif) : Olamaz, bu durumda 4 de hafif olurdu
1 + 4 = 2 + 3     (iki taraf da eşit) : Olamaz, her madalyon doğru olurdu


1 + 4 < 2 + 3     (sol kefe hafif) : 1 veya 4 hafif olan madalyondur
1 + 3 = 4         (iki taraf da eşit) : 1 ve 4 ayrı taraftalar ve 3 normal 
                  ise kefeler eşit ağırlıkta olamaz.
1 + 4 < 2 + 3     (sol kefe hafif) : 1 veya 4 hafif olan madalyondur
1 + 3 < 4         (sol kefe hafif) : 1 hafiftir.
1 + 4 < 2 + 3     (sol kefe hafif) : 1 veya 4 hafif olan madalyondur
1 + 3 > 4         (sağ kefe hafif) : 4 hafiftir.

Bu durum analizlerinden de görüldüğü gibi doğrudan bu iki tartı işlemini yapıp sonuçlarından hangi madalyonun hafif olduğunu bulmak mümkün, yani ikinci tartıyı belirlemek için birincinin sonucunu değerlendirmeye gerek yok.

Kapılar ve kedi (Çözüm)

Soru

Bu tür sorulara ısınmak için bazen daha basit bir versiyonla başlamak işe yarar diye düşündüm ve üç kapıyla başladım.

[table id=12 /]

Yukarıdaki tabloda sütunlar kapıları göstermekte. Satırlar da günleri. Eğer bir kapının arkasında verilen günde bir kedi olabilirse o kare bir kara kediyle gösterilmiştir. Eğer o kapının arkasında kedi olma şansı yoksa kırmızı çarpı işaretiyle gösterilmiştir. Yeşil işaret ise o gün açtığımız kapıyı gösteriyor.

Üç kapılı oyunda ilk gün 2. kapıyı açıyoruz. Eğer arkada kedi varsa oyun bitiyor. Yoksa kapıyı kapatıyoruz ve kedi kenar kapıların birinde olduğundan gece bu kenar kapıyı terk edip orta kapıya geliyor. Bu nedenle ikinci gün kedi kenar kapıların arkasında olamaz. Ertesi gün yeniden 2. kapıyı açıyoruz ve kediyi buluyoruz.

Şimdi aynı soruyu 4 kapı için çözmeye çalışalım. Aslında buradan sonraki çözümleri bir arkadaştan öğrendim ve sonuçları anlamaya çalışıp bir tablo haline getirdim sadece.

[table id=13 /]

Kapıları 2-3-3-2 sırasına göre açtığımızda görüldüğü gibi 4. günde kedinin arkasında olabileceği son kapıyı da bulmuş oluyoruz. İkinci kapıdan başlayıp sondan ikinci kapıya kadar gittik ve sondan ikinci kapıyı iki kere açtık. Bu yöntemi bir de 5 kapı için deneyelim, bakalım bulduğumuz düzen işe yarıyor mu?

[table id=14 /]

Şansımızı bir de 6 kapı için deneyelim.

[table id=15 /]

Ve son olarak da 7 kapı için problemin çözümünü de bu tabloda görelim.

[table id=16 /]

 

Peki bu çözüm neden işe yarıyor?

Kedi her gün ya bir sağa ya da bir sola hareket etmek zorunda. Gün numarası her gün bir artarken, kedinin saklandığı kapının numarası ya bir artacak ya da bir azalacak. Dolayısıyle gün ve kapı değişiminin toplamı her gün ya 0 ya da iki olacak. Buradan da şu sonucu çıkarabiliriz:

Eğer kedi ilk gün tek numaralı bir kapının arkasındaysa, oyun boyunca arkasında olduğu kapı numarasıyla gün numarasının toplamı bir çift sayı olacaktır. Aynı şekilde ilk gün çift sayılı bir kapının arkasındaysa bu toplam hep tek olacaktır.

İlk gün 2 numaralı kapıyla başlayıp hep yukarı doğru gidersek biz de her gün tek sayılı bir toplam üretiriz. Varsayalım kedi de çift sayılı bir kapının arkasında başladı. O zaman her gün o da tek sayılı bir toplam üretecek. İkimizin sayısı arasındaki fark her zaman çift olacak ve bu fark aramızdaki kapı sayısı kadar olacak. İkinci kapıdan başlayınca birinci kapıyı atladık ama bu varsayımımıza göre kedinin burada olamayacağını düşündük. Evet, kedi burada olabilir ama o sorunu daha sonra çözeceğiz. Kapı numaralarını artırarak gittiğimizde kediyi sağa doğru sıkıştırmış oluyoruz. N-2 gün sonra sondan ikinci kapıya ulaşırız. Artık bizden iki kapı uzak bir yer kalmadı. Kedi bu kapının arkasında olmalı, tabii ki kedi de oyuna çift sayılı bir kapının arkasında başladıysa. Eğer sondan ikinci kapıda kediyi bulamadıysak varsayımımız yanlış demektir ama oyunun sadece yarısı bitti henüz.Demek ki kedi tek sayılı bir kapının arkasında başlamış. Bu noktada kedinin yapamadığı ama bizim yapabileceğimiz bir hamle yardımıyla kendi toplamımızı çifte çevirecek hamleyi yapıyoruz, yani son açtığımız kapıyı tekrar açıyoruz. Bu hamle ayrıca kedinin bir gün önce son kapının arkasında olma durumunu da hallediyor. Eğer son kapının arkasında idiyse şimdi tekrar açtığımız kapının arkasında olmalı. Bundan sonra kediyi sola doğru sıkıştırdık demektir ve toplamlarımız da senkronize olmuş durumda, ikimiz de çift toplamlardayız ve kedinin kapısıyla bulunduğumuz yer arasında hep ikinin katları kadar fark olacak ve bu fark her gün ya 2 azalacak (kedi bize doğru kapı değiştirirse) ya da aynı kalacak (kedi de bizim gibi sola doğru kaçarsa). Bu şekilde eninde sonunda kediyi 2 numaralı kapının arkasında yakalayacağız.

Bu şekilde N kapı için kediyi 2N-4 adımda kesin olarak bulabiliyoruz. Bu çözümün optimum çözüm olup olmadığını bilmiyorum ama öyle olduğunu sanıyorum. İspatı bilen ya da bulan bana haber verirse sevinirim.

 

Retrograde (Çözüm)

Soru

Tibor Orban bu problemi 1976 yılında hazırlamış.

Görüldüğü gibi siyahın d piyonu eksik, yani eksik olan piyonun d piyonu olma şansı yüksek. Beyazın da sadece beyaz karelerdeki fili eksik.

Problemin ilginç yanlarından biri üç hamlede çözümünün çok kolay olması.

1. e4 e6
2. Fb5 c6
3. Fc6 dc6

Fakat problemde istenen bu değil. Siyahın piyonu beyaz fil tarafından alınmıştır. Bunu bu kadar rahat söylememin nedeni beyazın diğer taşlarının piyonu aldıktan sonra son konumdaki yerlerine dört hamle içinde gelmelerinin imkansız olmasıdır. O zaman ilk sorum şöyle oldu: Fil piyonu nerede aldı?

Önce şu şekilde oyunları taramaya başladım.

1. e4 e6
2. Fc4 d5
3. Fd5 Vd5
4. Af3 Vd8
5. Ag1 c6
1.e4 c6
2.Fb5 e6
3.Fc6 dc6
4.Af3 Vd7
5.Ag1 Vd8

Bu noktada fark ettim ki eğer siyah üç piyon hamlesi yaparsa diğer taşlarının biriyle en az iki hamle yapmalı ki taşları yine başlangıç konumuna gelebilsin. Siyahın c6 ve e6 karelerinde piyonları olduğuna göre en az iki piyon hamlesi yapmış olmalı. O zaman siyahın d piyonu hiç hareket etmemiştir.

Siyahın d piyonu hareket etmemişse d7 karesinde alınmış olması lazım. Fil başka bir piyonu almış olsa d piyonu hareket etmek zorunda olur ve bu da üçüncü bir piyon hamlesi demektir. Burada yeni bir problemle karşılaştım. Siyahın c6 ve e6 karelerindeki piyonları beyaz filin d7 karesine erişmesini oldukça güzel engelliyor. Bu piyonlar olmasa beyaz fil d7 karesine en az üç hamlede ulaşabiliyor (e4, Fb5, Fd7). Diğer yol ise dört hamle gerektiriyor (e4, Fe2, Fg4, Fd7). Dört hamle gereken yolu hemen eledim, çünkü bu durumda siyahın dördüncü hamlede beyaz fili d7 karesinde alması gerekiyor ama son pozisyonda d7 karesi boş, yani bu yol izlenmemiş. Demek ki beyaz fil b5 üzerinden d7 karesine erişmiş olmalı. d7 karesine erişebilmesi için c6 hamlesinin yapılmamış olması gerekiyor ama. Bir diyagramla o pozisyona bakalım.

Siyah burada c6 oynamamış olduğuna göre başka bir taşı oynamış olmalı Örneğin Ve7 yapsın, böylece beyaz d7 piyonunu alabilir ve şah çeker. Siyah vezir de d7 karesinde beyaz fili alır. Sonra siyah bir hamle c piyonuyla yapar ve bir diğer hamleyle veziri geri oynar. Bu arada beyaz da bir at ile ileri geri gider. Hamleleri sayalım şimdi.

1. e4 e6
2. Fb5 Ve7
3. Fd7 Vd7
4. Ac3 c6
5. Ab1 Vd8

Yine beş hamle tuttu. Biraz düşününce problemin c6 hamlesini geciktirmek ve beyaz fili d7 karesinde almak olduğunu gördüm. c6 hamlesi ikinci hamlede yapılmazsa (ki yapılmaması gerekiyor) siyah piyon dışı bir hamle yapmak zorunda kalıyor. Ardından oyun sonuna kadar bir c6 hamlesi yapması gerekecek, bir de bir taşla fili d7 karesinde alırsa bu taşı geri götürmesi gerekecek. Yani toplamda iki piyon ve üç de başka figür hamlesi gerekiyor. Buradan çıkardığım sonuç şu oldu. Siyahlar beyaz fili d7 karesinde almamalı.

Şu ana kadar elde ettiğim çıkarımlar:

  1. Siyah ilk iki hamlede c piyonunu oynayamaz
  2. Beyaz fil d piyonunu d7 karesinde almalı
  3. Beyaz fil d7 karesinde alınamaz

O an gözüme problemin püf noktası çarptı. Eğer siyah ikinci hamlede oynadığı figürle beyaz fili bu figürün ilk başta karesinde alabilirse bir taşla iki kuş vurabilirdi. Böylece c6 hamlesini geciktirmek, beyaz fili almak ve geri dönmek üç hamle değil, iki hamle tutabilirdi. O zaman adaylara baktım. Beyaz fil sadece beyaz karelerde gidebildiğinden siyah figürün başlangıçta beyaz karede olan bir figür olması gerekiyor. a8 ve g8 karelerindeki kale ve at olay yerine çok uzak. c8 karesindeki fil ise hareket edemiyor (d7 oynamamalı). Demek ki ikinci hamlede oynayan taş siyah şah olmalı.

Bu şah hamlesi probleme ayrı bir güzellik katıyor, çünkü o ana kadar algılamadığım bir problemi de ortadan kaldırıyor. Eğer başka bir taş (mesela vezir) oynanmış olsa üçüncü hamle sonunda aşağıdaki pozisyon elde edilecek.

Görüldüğü gibi beyaz Fd7 hamlesiyle şah çekiyor, yani ya fil alınmalı (yukarıdaki üçüncü çıkarımıma aykırı) ya da şah kaçmalı (dört hamlede geri dönüş için zaman kalmadı). Bunun yerine Şe7 hamlesi bütün bu sorunları oldukça güzel çözüyor.

1. e4 e6
2. Fb5 Şe7

3. Fd7 c6

4. Fe8 Şe8

Böylece dört hamle sonunda problemde istenen pozisyona kurallara uygun hamlelerle ulaşmış oldum.

Elmalar (Çözüm)

Soru

Soruyu ilk gördüğümde mantıkçıların sorduğu ilk iki sorunun ne kadar gereksiz olduğunu düşündüm. Örneğin her mantıkçı hücresindeki elma sayısını kullanarak “Hücremde şu kadar elma mı var?” şeklinde sorsa, hepsinin cevabı evet olacak ve üç mantıkçı da toplam elma sayısını hemen bilecekti.

Bu şark kurnazlığı çözümünü engellemek için ilk iki soru verilmiş. Her hücrede farklı sayıda elma olması gerektiğinden toplam en az 1+2+3 = 6 ve en fazla da 7+8+9=24 olabilir. Ayrıca soruların cevaplarından toplamın çift ve asal olmadığını biliyoruz. 6 ve 24 arasındaki çift ve asal sayıları sildiğimizde geriye sadece 9, 15 ve 21 toplamları kalır. Herkes soruları ve cevapları duyduğundan üç mantıkçı da iki soru sonunda olasılıkları bu üç duruma indirmiş olacaktır.

Üçüncü mantıkçı tek bir evet hayır sorusuyla bu üç durumu birden çözemeyecektir ama soruya göre buna ihtiyacı da yoktur. Cevabı hangi mantıkçı bulursa bulsun, hepsi kurtulacak. Üçüncü hücrede 5 elma olduğuna göre üçüncü mantıkçı açısından olası elma dağılımlarına bakalım.

9 = 1 + 3 + 5     
21 = 7 + 9 + 5  
15 = 1 + 9 + 5
15 = 2 + 8 + 5
15 = 3 + 7 + 5
15 = 4 + 6 + 5

Varsayalım ilk iki mantıkçı bir şekilde toplamın 9 ya da 21 olduğunu biliyor (yani toplam 15 değil). Bu durumda sadece iki durum mümkün. Ya mantıkçıların hücrelerinde 1 ve 3 elma var, ya da 7 ve 9 elma. Eğer mantıkçıların birinin hücresinde 1 elma varsa o mantıkçı toplamın 21 olamayacağını hemen bilir çünkü bir hücrede en fazla 9 elma olabilir ve 21 – 1 = 20 elmayı iki hücreye dağıtamayız. Dolayısıyla 1 elmalı mantıkçı toplamın 9 olacağını bilecektir. 3 Elmalı mantıkçı da toplamın 9 olduğunu bilir çünkü 21 olsaydı diğer iki hücreye 18 elma kalacaktı ama her hücrede farklı sayıda elma olmak zorunda olduğundan bu dağılım mümkün olmayacak. Diğer şekilde de eğer toplam 21 ise 9 elmalı hücredeki mantıkçı diğer hücrelerde en az bir elma olacağından toplamın 9 olamayacağını anlayacak ve doğru toplam olan 21’i bulacak. 7 elmalı hücredeki mantıkçı da 9 olamayacağını bilir, çünkü her hücrede farklı sayıda elma olmak zorunda ve bu durumda toplam en az 7+2+1=10 > 9 olabilir.

İlk iki mantıkçıya bu yardımı yapmanın en kolay yolu heralde doğrudan “Toplam elma sayısı 15 mi?” diye sormak olur. Eğer cevap evet ise herkes toplamı biliyordur, değilse birinci ve ikinci mantıkçı bir önceki paragraftaki gibi düşünerek çözümü bulacaktır.

Üçüncü mantıkçının şöyle bir soru sorduğu duruma bakalım:

“Diğer iki hücredeki elmaların toplamı 10 mu?”

Bu soru dolaylı olarak toplamın 15 olup olmadığını sorsa da diğer iki mantıkçıya aynı bilginin gittiğini sanmıyorum. Bu kanıya ilk iki sorunun çok daha kolay olabileceği ama mantıkçıların böyle bir çabasının olmadığı noktasından çıkarak ulaştım, yani çok iyi mantıkçılarla yanılıyor da olabilirim.

Bundan başka merak ettiğim bir şey de acaba üçüncü mantıkçının toplamı kendi başına bulabileceği bir soru var mıdır?

Örneğin, “aklımda 0 ya da 6 sayısını tutuyorum ve bu tuttuğum sayı ile toplam elma sayısının toplamı 15’ten fazla mı?”. Eğer toplam 21 ise cevap her zaman evettir. Eğer 9 ise hayır. “Bilmiyorum” derse ya da cevap veremezse toplam 15’tir. Bu tür soruların problemin soruluş şekline göre yasak olup olmadığından emin değilim ama yine de böyle bir imkandan da bahsetmek istedim. Yani probleme göre cevabı evet ya da hayır olan bir soru sorulabilir ve burada kasıtlı olarak cevabının “bilmiyorum” olabileceği bir soru soruyoruz.

 

Elmalar

Üç mantıkçı yanyana hücrelerde idam vaktini bekliyorlar. Bu sırada kral bunlara bir şans daha vermek için baş danışmanını gönderiyor ve danışman her bir hücreye en az bir en fazla da dokuz tane olacak şekilde farklı sayıda elma bırakıyor. Mantıkçılar sadece kendi hücrelerindeki elmaları görebiliyor, diğer hücrelerde yine aynı kurala göre elmalar bırakıldığını biliyorlar ama sayılarını bilmiyorlar. Sırayla her biri danışmana cevabı evet ya da hayır olan bir soru sorabilecek. Danışman da bu soruyu doğru cevaplayacak. Herkes soruları ve cevapları duyabilecek. Eğer bu sorular sonunda mantıkçılardan biri üç hücredeki toplam elma sayısını söyleyebilirse hepsi serbest kalacak.

1. Mantıkçı: Toplam elma sayısı çift sayı mı?

Danışman: Hayır.

2. Mantıkçı: Toplam elma sayısı bir asal sayı mı?

Danışman: Hayır.

Üçüncü mantıkçının hücresinde beş elma var. Acaba hangi soruyu sormalı ki kurtulabilsinler?

 

Çözüm