Bu oyunda bireyler yine ortak kaynaklar için mücadele ediyor. Bu sefer mücadele kazanç ya da kayıplarını bir tablo şeklinde göstermeyeceğiz. Bunun yerine bireylerin bu ortak kaynak için ne kadar masrafa gireceğine bakacağız. Bu oyunda da kaynak ve masraf tabii ki çok çeşitli şeyler olabilir.
Örnek: İki birey de yiyecek için kavga ediyor olabilir. Burada yiyecek ortak kaynak. Kavganın ne kadar süreceği de masraf olabilir. Kavga uzadıkça yaralanma riski artabilir ve eğer bu yiyecek kazanılamazsa bir başka kavga için hem zaman hem de enerji yetmeyebilir. İki bireyin aynı yiyecek için planladığı masraflar da farklı olabilir. İkisi de aynı derecede aç olmayabilir.
A ve B türü bireylerin aşağıdaki tabloya göre davrandıklarını varsayalım.
[table id=9 /]
\(V \) : kaynağın değeri
\(m_{a} \) : A bireyinin bu kaynak için yapmaya hazır olduğu masraf
\(m_{b} \) : B bireyinin bu kaynak için yapmaya hazır olduğu masraf
Daha yüksek masrafa girmeye hazır olan birey mücadeleyi kazanıyor. Tabloya göre iki birey de daha düşük masraf kadar harcama yapmış oluyor. Örnek olarak eğer masraf mücadele zamanıysa iki birey de hangi birey daha kısa mücadele etmeyi tercih etmişse o kadar süre mücadele ettiğinden, o kadar masraf yapmıştır. Mücadeleyi kazanın birey yaptığı masrafa karşın ödülü (kaynağı) de tek başına kazanıyor.
Eğer iki birey de eşit masrafta bulunmuşsa, net kazançları kaynağın yarısı (eşit paylaşıyorlar) eksi yaptıkları masraf kadardır.
Eğer bütün bireyler \(M\) masraflı stratejiyi benimserse o zaman \(M+\delta M \) masrafa (çok az bir ek masraflar) hazır bir mutant populasyonu işgal edebilir.
Örnek: \(V=4 \), \(m_{a}=1 \) olsun. Bu populasyona \(m_{b}=1.1 \) olan bir mutant katılsın. A bireyleri birbirleriyle karşılaştığında net kazançları \(\frac{4}{2} – 1=1 \) olacak. Buna karşın B bireylerinin A bireylerine karşı net kazançları \(4-1=3 \) olacak. A bireyleri ise bu karşılaşmalarda \(-1 \) kaybedecekler. Buna göre B stratejisi A stratejisine göre avantajlı olacak.
Başka bir örnek: Eğer populasyondaki bireyler kaynağın değerinin yarısından daha fazla masrafa girmeye hazırsa ilginç bir strateji bu populasyonu işgal edebiliyor. Hiç masrafa girmemek. Mutantların çok az olduğunu dikkate alırsak populasyondaki normal bireylerin çoğunlukla birbirleriyle karşılaşacağını görebiliriz. Bu durumda mutantlar hiçbir mücadeleyi kazanamayacak ama masrafa girmediklerinden kayıpları da olmayacak. \(\frac{V}{2}-m_{a} \) değeri bu senaryoda negatif olacağından normal bireyler birbirleriyle karşılaşmalarından hep kayıpla çıkacaklar. Bu da mutantları daha avantajlı duruma getirecek, çünkü aynı başlangıç durumuyla bir kayıpları olmayacak.
Bu örneklerden anlaşılıyor ki sabit bir stratejiyle populasyon mutantlara karşı korunamıyor. Peki nasıl bir strateji güdülmeli?
Problemi matematiksel olarak çözdüğümüzde (Çözümün nasıl yapıldığını burada vermeyeceğim) şöyle bir dağılım çıkıyor:
\(p(x)=\frac{1}{V}\cdot{e^{\frac{-x}{V}}} \)
Bireyler bu dağılıma göre rastgele bir x değerini masraf olarak seçmeli. Bu işlemin nasıl yapılacağı ilk bakışta karışık tabii. Özellikle doğada ‘basit’ canlıların bunu nasıl yaptığı. Bu dağılım daha basit bir şekilde söyle ifade edilebilir. Bu stratejiye göre davranan birey başlangıçta bir sabit sayı (\(\frac{1}{V}\)) seçiyor. Bu seçim tabii ki evrim sürecinde oluşmuş da olabilir, yani genetik olarak nesilden nesile ufak değişimlerle aktarılan bir sabit. Birey her birim zaman sonunda eğer rakibi hala mücadeleye devam ediyorsa bu sabit olasılıkla ya mücadeleye devam edecek ya da bırakacak. Bu davranış şeklini her birim zamandan sonra uygularsa yukarıda verilen dağılıma ulaşmış olur. Örneğin, sabit olasılık değeri 0.5 ise, mücadele sırasında her dakikadan sonra birey yazı tura atabilir. Eğer rakip devam ediyorsa ve tura gelirse devam eder, yazı gelirse çekilir. Bir sonraki dakikanın sonunda aynı işlemi takrarlar.
Bu yöntem aslında kısmen kolayca anlaşılabilir. Eğer rakipler birbirlerinin durumundan ek bilgi (acaba rakip mücadeleye devam edecek mi yoksa etmeyecek mi) elde edemiyorsa o zaman her adımda kullanılan olasılığı değiştirmek için bir neden yok. İlk başta hangi olasılık kullanılmışsa o olasılıkla devam edilebilir.
Ayrıca bu çözümün başka bir güzel tarafı da bazen en iyi stratejinin rastgele hareket etmek olduğunu göstermesi.
Aşağıdaki oyun linkinden bu oyunun oynanabileceği sayfaya erişilebilir. Oyunda sadece sabit stratejiler yer almakta. Ayrıca bu sabit stratejiler oyun başlamadan önce belirleniyor. Bu oyunun değişik varyantları da programlanabilir (ileride yapmayı düşünüyorum). Örneğin, bireyler rakibinin görünüşünden ek bilgiler elde edebilir. Büyüklüğünden, saldırganlığından ve daha başka özelliklerinden ne kadar masraf yapmaya eğilimli olduğunu çıkarıp ona göre değişken stratejiler uygulayabilir.
Oyun linki