Merdiven (Çözüm)

Soru

Bu soruyu değişik yollardan çözmek mümkün. En basitinden bütün sıçrama şekilleri sayılabilir. Ben de çözüme bu şekilde başlayayım. 10 sayısını 1 ve 2 sayılarının toplamı şeklinde kaç değişik şekilde yazabiliriz? Bu arada bu toplamları 1 ve 2 adımlık sıçramaların sıraları da önemli olacak şekilde yazacağız. Yani  1+2+2+2+2+1 ile 1+1+2+2+2+2 toplamlarını farklı sıçramalar olarak sayacağız.

[table id=18 /]

Bu tablonun son sütunundaki toplamları topladığımızda da:

1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89 değişik sıçrama yöntemi buluruz.

Açıklamalar kısmında uzun uzun listelediğim sıçramaları bir önceki sütunda kombinasyon adetlerini bulma formülüyle kolayca hesaplayabiliriz tabii ki.

Soruyu başka türlü de çözebilirdik tabii ki. Bunun için önce daha küçük bir soruyla başlayalım. Bir basamak olsun. Tabii ki kurbağa bu merdiveni sadece tek bir sıçramayla çıkabilir. Peki iki basamak olursa ne olur? Bu da kolay, ya bir ya da iki basamak sıçrayarak iki değişik şekilde çıkar.

Üç basamağa geldi sıra. Kurbağa birinci basamaktan iki adımlık sıçramayla üçüncü basamağa ulaşabilir ya da ikinci basamaktan tek adımda. Yani üçüncü basamağa geliş yolu sayısı birinci basamağa geliş yolu sayısıyle ikinci basamağa geliş yolu sayısının toplamı oluyor.

Dördüncü basamak için baktığımızda da aynı şekilde üçüncü basamağa geliş yollarıyla ikinci basamağa geliş yollarının toplamını bulacağız. Bunu genel olarak yazmaya kalkarsak da şöyle bir şey çıkacak:

\(F(n) = F(n-1) + F(n-2) \)

n merdivendeki basamak sayısı, F(n) de kurbağanın bu merdiveni kaç farklı yoldan çıkabileceğinin sayısı. Yukarıdaki formül Fibonacci dizilerinin ta kendisi olmaktadır. Bu formülü defalarca kullanarak da soruyu çözebiliriz.

\(F(1) = 1 \)

\(F(2) = 2 \)

\(F(3) = F(2) + F(1) = 2 + 1 = 3 \)

\(F(4) = F(3) + F(2) = 3 + 2 = 5 \)

\(F(5) = F(4) + F(3) = 5 + 3 = 8 \)

\(F(6) = F(5) + F(4) = 8 + 5 = 13 \)

\(F(7) = F(6) + F(5) = 13 + 8 = 21 \)

\(F(8) = F(7) + F(6) = 21 + 13 = 34 \)

\(F(9) = F(8) + F(7) = 34 + 21 = 55 \)

\(F(10) = F(9) + F(8) = 55 + 34 = 89 \)

Bu şekilde de 89 çözümü bulunabiliyor.

Bir Kelime Bir İşlem – 2

İşlem:

1.   9 6 4 9 6 25     Hedef: 582

2.   9 7 7 1 2 50     Hedef: 429

3.   7 8 3 3 5 25     Hedef: 621

4.   1 1 6 3 3 25     Hedef: 792

5.   8 2 9 9 8 100   Hedef: 769

 

Kelime:

  1. O A G N M Ç H
  2. Y R Ü T I V E
  3. O N C K I L Z
  4. Ç G Ç Ö A A B
  5. Ş J U I J A A

 

 

 

 

Cevaplar

İşlem:

  1.   6 x 4 = 24

24 x 25 = 600

9 + 9 = 18

600 - 18 = 582
  2. 9 x 50 = 4501 + 2 = 33 x 7 = 21450 - 21 = 429
  3. 3 x 8 = 2424 x 25 = 6003 x 7 = 21600 + 21 = 621
  4. 1 + 1 = 22 x 3 = 66 x 6 = 3625 - 3 = 2222 x 36 = 792
  5. 8 ÷ 2 = 4100 - 4 = 968 x 96 = 7689 ÷ 9 = 1768 + 1 = 769

 

Kelime:

  1. ZANGOÇ    (Ç Joker) : Kilise hizmetini gören ve çan çalan kimse.
  2. RÜŞVET      (Ş Joker) : Yaptırılmak istenen bir işte yasa dışı kolaylık ve çabukluk sağlanması için bir kimseye mal veya para olarak sağlanan çıkar.
  3. OZANLIK    (A Joker) : Şairlik.
  4. KAÇGÖÇ    (K Joker): Dinî bir anlayışla Müslüman kadınların erkeklere görünmemeleri, bir arada oturup konuşmaktan kaçınmaları.
  5. AŞAĞI         (Ğ Joker): Bir şeyin alt bölümü, zir, yukarı karşıtı.

Retrograde (Çözüm)

Bu pozisyonda tahtadaki taşları boyamamız isteniyor, yani hangi taşların beyaz, hangi taşların siyah olduğunu bulacağız. Şahların birinin beyaz birinin siyah olacağı açık. Peki diğer taşların biri beyaz biri siyah olabilir mi?

Olamaz, çünkü bu durumda iki taraf da aynı anda şah çekiyor olur. Bu da daha önce birinin kurallara aykırı bir hamle yaptığı anlamına gelir. Demek ki kale ve vezir aynı renklerde olmalı. İkisi de aynı anda şah çektiğine göre açarak şah çekilmiş olması lazım. Bu pozisyonda tek açarak şah imkanı beyazın g7 piyonunun h8 karesine giderek vezir olmasıyla mümkün. Demek ki piyon h8 karesinde siyah bir taş almış.

Bu pozisyonda siyah at yerine siyah fil de olabilir tabii. Böylece taşların rengini belirlemiş olduk.

1. gxh=V

Rüyalar

Dün gece acayip bir kabus gördüm. Kabusun acayipliği, ilk kez beynimle üzerinde mutabakata vardığımız kuralların dışına çıkmamız oldu. Şöyle ki, eğer rüyada bir hayalet (tanıdık olması ya da olmaması önemli değil) görürsem kurallara göre donup kalmam, ses çıkaramamam lazım. Yapmaya hakkım olan tek şey uyanmaya çalışmak ki onu da bugüne kadar çok güzel uygulayabilmiştim. Bunun dışındaki kabuslarda (okula dönüş, bir yerlere yetişme vb) hareket ve bağırma hakkım da oluyor, değişmeyen tek şey istersem uyanabilmem.

Neyse, dün gece rüyamda yaklaşık yedi saat önce bitmiş ve iki gün önceden de katılmayacağımı bildirdiğim briç turnuvasına gitmek için hazırlanıyordum. Hazırlanmaktan kastım da giyecek bir şeyler aramak ve bu noktada heralde kadınlar beni çok iyi anlayacaktır, giyecek hiçbir şeyim yok. Yanlış hatırlamıyorsam kot pantolonumu arıyordum. Bulamamamın nedeni büyük ihtimalle pantolonumu teyzemlerin evinde aramamdı ama rüyada bu gibi ayrıntılara takılmak çok gereksiz bir uğraştır. Bir odadan çıkıp diğerine giriyordum, hatta belki de üzerimde bir pantolon vardı ama ben yine de deli gibi arıyordum. Beş trenine yetişebilirsem harika olacaktı, yarım saatten biraz fazla zamanım vardı. Salona girdiğimde masanın etrafında oturan, google’ın deyimiyle yaklaşık beş tane hayalet gördüm. Genç bir kadın hayaletine bakıyordum ve donmuş gibiydim. Diğer hayaletler kendi çevrelerinde hafif hareket ediyorlardı ama kadın hareketsizce sadece bana bakıyordu. Kabus şartları sağlandığına göre bağırmaya ya da kaçmaya çalışmam anlamsızdı. En iyisi uyanma prosedürünü başlatmak olacaktı. O an kırk yıldır yapmadığım bir şeyi yaptım ve elimde tuttuğum ve bugünlerde yatakta başucu kitabım olan Ali Nesin’in “Analiz I” kitabını masadaki kadına fırlattım. Tabii ki beklediğim gibi kitap kadının içinden geçip yere düştü. Neyse ki yırtılmadı, uyanabilirsem okumayı düşünüyordum. Bunun üzerine kadın da bana açılmış bir şemsiye fırlattı. Bu da yine beklediğim gibi benim içimden geçmeyip yere düştü. O ana kadar öğrenebildiğim şeyler, kadının hayalet olduğu ve şemsiyenin hayalet olmadığıydı. Aslında kadın normal olup kitap da hayalet olabilirdi ama rüya işte, mantıklı düşünemiyordum. Sonra hep beraber birbirimize bir şeyler fırlatmaya başladık. Birbirimizi anlıyor gibiydik. Pantolonumu aramada yardım etmelerini istedim ama bana atılan şeyler arasında giyilebilecek bir şey yoktu. Tabii ki bu arada beş trenini kaçırmıştım ve hemen çıkarsam beş buçuk trenine yetişme şansım vardı. Bu şansı çok ciddiye almıyordum, çünkü rüyamda bugüne kadar ne derse, ne sınava, ne uçağa ne de bir randevuma yetişebilmiştim. Diğer taraftan daha önce bir hayaletle iletişim de kurmamıştım. Şansımı denemeye karar verip üzerime bir şey giymeden dışarı fırladım.

İşe gelince bütün bunların bir kabus olduğundan emin olmak için dün gitmediğim turnuvanın sonuçlarına baktım. Sonuçlar hala yüklenmemişti. Umarım hepsi bir rüyaydı ve turnuvaya gitmedim.

Asansörler (Çözüm)

Soru

Bu soruyu çözmek için nedense çizge teorisini denemekle başladım. Çizge teorisinin güzel tarafı anlaşılır ve kolay işlemlere sahip olmasıydı. Bir de problemi görsel olarak modellemek de kolaydı.

Tabii ki soruda verilenle değil de daha basit bir problemle başladım. Amacım basit bir formül bulmaktı. Bu hedefle ve yöntemle yola çıkmak bu örnekte de görüldüğü gibi bazen insanı çok erken sevindiriyor ve bir süre sonra da yarı yolda bırakabiliyor.

Önce çizge teorisiyle problemi modellemeyi denedim. Katları düğüm noktalarıyla, katlar arası geçişleri de bu noktaları birleştiren çizgilerle gösterdim. Bu durumda herhangi bir kattan başka herhangi bir noktaya tek asansörle gidebilmek, bütün noktaların birbirleriyle birer çizgiyle bağlı olması demek oldu.

Bu şekildeki N düğüm noktasına sahip bir çizgede toplam bağlantı sayısı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

Birinci nokta diğer bütün noktalarla bağlantılı olacak: \(N – 1 \) bağlantı.

İkinci nokta birinci hariç kalan diğer bütün noktalarla bağlantılı olacak: \(N – 2 \) bağlantı.

Bu şekilde birinci noktadan son noktaya kadar toplarsak (son noktada bağlantı sayısı 0 olacaktır) toplam bağlantı sayısını buluruz: \(N-1 + N-2 + \dots + 1 + 0=\frac{(N-1)\cdot{N}}{2} \)

Burada en basit problem olarak sadece iki katta duran asansörleri ele aldım. Tabii bu şekilde hareket eden bir asansör çizgemizdeki tek bir bağlantıya karşılık gelecektir. Bu da N kat için gereken asansör sayısının, yukarıda bulduğumuz gibi, bağlantı sayısına eşit olduğu anlamına gelecektir.

Daha sonra üç kata giden asansörlere baktım. Toplam bağlantı sayısı aynı kalıyor tabii ki. Her asansörün bu bağlantıların kaçına karşılık geldiğine baktım. Üç kata giden asansör üç bağlantıya karşılık geliyor tabii ki. Örneğin 1., 2. ve 3. katlarda duran asansör, çizgede 12, 23 ve 31 katları arasındaki geçiş bağlantılarıyla gösterilmekte ve çizgedeki toplam bağlantı sayısını üçe bölerek gereken asansör sayısını bulabileceğimi düşündüm. Tabii bunu yapabilmek için aslında her zaman üç kat seçebileceğim varsayımını da yapmış oldum. Bu varsayım tabii ki yanlıştı. Eğer doğru olsaydı toplam bağlantı sayısının üçe bölündüğü bu formül gereken asansör sayısını bulacaktı:

\(\frac{(N-1)\cdot{N}}{6} \)

Fakat şu kısa tabloya bakılınca bazı kat sayıları için bu formülün doğru sonucu vermediğini görüyoruz.

Bunun üzerine formülde biraz daha oynadım. Örneğin tavan fonksiyonunu filan da kullandım ama her seferinde bu formülün işe yaramadığı bir örnek çıktı. Bunun üzerine formül aramaktan vazgeçip, başka ne tür kurallar bulunabilir diye aramaya başladım.

Farkettiğim basit kurallardan biri her katın asansörlerde yaklaşık olarak eşit sayıda bulunması gerektiği. Yani 10 kat varsa ve 4 katta duran 20 asansör varsa, asansörlerde her kat yaklaşık (bu durumda belki de tam) 8 kere bulunmalı.

Bir başka ilginç özellik de şöyle. Diyelim ki şöyle bir problem verilmiş. 7 katlı bir bina için 3 katta duran kaç asansör gerekmektedir? Bu probleme bir çözüm bulduğumuz an otomatik olarak  6 durakta duran aynı sayıda asansörün 14 katlı binanın bir çözümü olduğunu da buluyoruz. Daha basit bir örnekle başlayıp bu özelliğe bir bakalım.

3 katlı bir binada sadece 2 katta duran kaç asansör gereklidir?

Çözüm olarak kolayca şunu bulabiliriz:

1. asansör: 1, 2

2. asansör: 1, 3

3. asansör: 2, 3

Yukarıda her asansörün hangi katlarda durduğu yazılı. Bundan daha az asansör olamaz. Şimdi 4 durakta duran üç asansörle kaç kata gidilebileceğini bulmak için bu üç asansörü alıp her birine ikişer kat daha ekleyelim. Bu katları eklerken yapacağımız tek şey mevcut olan kat numaralarına basit problemdeki kat sayısını eklemek, yani 3.

1. asansör: 1, 2,  1 + 3 = 4, 2 + 3 = 5  (İlk iki kat önceki sorunun çözümüydü ve bina 3 katlıydı)

2. asansör: 1, 3, 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6

3. asansör: 2, 3, 2 + 3 = 5, 3 + 3 = 6

Peki bunun bir çözüm olduğunu nereden biliyoruz? Bunu göstermek daha kolay. Asansörlerin kat listelerindeki sol yarının 1. kattan N. kata kadar problemi çözdüğünü biliyoruz. Yani k numaralı kattayken, k numaralı katın bulunduğu asansörleri  seçtiğimizde 1. kattan N. kata kadar gidebiliyorduk. Bu da bu seçilmiş asansörlerin kat listesinin sol tarafında 1’den N’ye kadar her katın bulunduğu anlamına geliyor. Biz bu kat listelerinin sağ yarısını oluştururken soldaki kat numaralarına N sayısını ekledik. Yani seçtiğimiz asansörlerin sağ tarafındaki numaralar da N+1’den 2N’ye kadar gidiyor. Dolayısıyle aynı asansörlerle 1’den 2N’ye kadar her kata ulaşabiliyoruz.

Yukarıdaki basit örnekle bunu deneyelim. Birinci katta olduğumuzu düşünelim. Bu durumda içinde 1 bulunan asansörleri seçiyoruz. Bunlar da 1. ve 2. asansörler.

1. asansör: 1, 2, 4, 5

2. asansör: 1, 3, 4, 6

Kat numaralarının sol yarısında 1, 2 ve 3 numaralı katlar var ve birinci kat ikisinde de ortak. Yani birinci kattan diğer katlara gidebiliyorduk. Sağ yarıdaki katları üretirken de bu sayılara 3 ekledik, yani sol taraf birden üçe giderken, sağ taraf da dörtten altıya kadar gidiyor. Birinci kat bu iki asansörde ortak olduğundan bu iki asansörle birinci kattan altıncı kata kadar asansör değiştirmeden gidebiliriz. Aynı mantığı diğer katlar için de uygulayabiliriz, bu sırada yapacağımız tek şey belki farklı katlar için farklı asansör gruplarını seçmek olacak.

Peki bu yöntem daha büyük soru için optimum çözümü mü veriyor? Bunu şimdilik bilmiyorum.

Şimdi temel sorumuza dönelim. 7 asansörümüz var ve her biri 6 katta duruyor. Bunu çözmek için biraz önce anlattığım yöntemi deneyelim. Her biri 3 katta duran 7 asansör sorusunu alalım. Biraz deneme yanılma yaparak şöyle bir çözüm bulabiliriz.

  1. asansör: 1, 2, 3
  2. asansör: 1, 4, 5
  3. asansör: 1, 6, 7
  4. asansör: 2, 4, 6
  5. asansör: 2, 5, 7
  6. asansör: 3, 4, 7
  7. asansör: 3, 5, 6

Yani bu kadar asansörle 7 katlı bir binayı çözebiliyoruz. O zaman yukarıdaki yöntemle durak sayısını ikiye katlarsak kat sayısını da ikiye katlayabiliriz.

  1. asansör: 1, 2, 3, 8, 9, 10
  2. asansör: 1, 4, 5, 8, 11, 12
  3. asansör: 1, 6, 7, 8, 13, 14
  4. asansör: 2, 4, 6, 9, 11, 13
  5. asansör: 2, 5, 7, 9, 12, 14
  6. asansör: 3, 4, 7, 10, 11, 14
  7. asansör: 3, 5, 6, 10, 12, 13

Çizge teorisiyle sorunu çözemedim ama orada bulduğum formüllerle asansör sayısıyla ilgili alt ve üst sınırları bulabiliriz. Internette bu problemlerin genel çözümünü ve formüllerini de aradım ama henüz bulabildiğim şeyler çok kısıtlı. Bu soru başka bir şekilde Kobon Fujimura’nın The Tokyo Puzzles kitabında çözülmüş ama kitaba henüz ulaşamadım. Bir de kodlama teorisinde de bu sorunun çözümü varmış diye okudum ama henüz onu araştıramadım. Yeni şeyler öğrendiğimde bunları da yazacağım.

 

Retrograde (Çözüm)

Siyahın son hamlesinden sonraki pozisyonu görüyoruz. Siyahın sadece şahı olduğuna göre son hamlesinde de bu şahı oynamış olmalı. Şahın bir önceki pozisyonda olabileceği kurallara uygun tek kare ise h7 karesidir.

Peki bu pozisyonda beyazın son hamlesi neydi? h2 piyonu oynamış olamaz, başlangıç karesinde. Şah oynamış olamaz, çünkü beyaz fil şah çekiyor. O zaman beyaz fil oynamış olmalı heralde. Fakat beyaz fil de a7-g1 diyagonalinde oynamış olmalı o zaman ve bir önceki pozisyonda da şah çekiyor olacaktı. O zaman fil hamlesi de kurallara uygun değil. Demek ki beyazın son hamlede kullandığı taş son pozisyonda tahtada değil ve ayrıca beyaz filin şah çekmesini de engelliyor. Son pozisyonda tahtada olmadığına göre beyazın son hamlesinde h7 karesine gitmiş olmalı. Şah çekilmesini engellediğine göre de a7-g1 diyagonalinde olmalı. Bu diyagonalden a8 karesine ulaşabilen tek taş bir attır. Demek ki bu pozisyonda beyazın b6 karesinde bir atı olmalı.

1. Aa8+

1. ... Şxa8

Ve böylece son pozisyonumuza da kurallara uygun bir şekilde ulaşabildik.

ODTÜ’ye giriş

Tecrübelerime dayanarak diyebilirim ki, mezuniyet törenlerinde ellerindeki pankartlarla gönlümüzü fetheden ODTÜ’ye üniversite sınavıyla giriş kapıdan girişten daha kolay. İnanmayan deneyebilir. Araçla girişte eski öğrenciler kabul ediliyor. İçeri girmeye hakkı olanların birinci derece akrabaları da bu haktan faydalanabiliyor. Yani annem, babam ve çocuklarım da benimle beraber girebilir ama kardeşim giremez. Neyse, ben zaten ODTÜ öğrencisi, mezunu ya da çalışanı olmadığımdan bu konu beni ilgilendirmez.

Yok ya, nasıl ilgilendirmez? ODTÜ’ye neden herkes giremiyor diye google’da arama yaptım. Çıkan başlıklara göre benim girmemde bir engel olmaması lazımdı.

“Polis ODTÜ’ye giremiyor.”

“Erdoğan ODTÜ’ye giremiyor.”

Ama neredeyse giremeyecektim. Ha, o da ayrı bir olaydı. Görevli resmen “Giremezsiniz, yasak ama bu seferlik izin veriyorum” dedi. Uzun süre Almanya’da yaşayınca böyle buram buram uzak doğu felsefesi kokan cümleler beni anında çarpıyor. Yasak ama yasak değil. Hayır, acaba beyinde mantıksızlığa mantıksızlıkla karşılık vermeye programlı bölümler mi var ki, bir an arabadan inip yürüyerek içeri girmeyi düşündüm.

Görevlinin “Buyrun, geçin hocam” demesiyle elimi kapının kolundan geri çekip arkama yaslandım ve düşünmeye başladım. On saniye önce içeri almadığı ben birden hocası mı olmuştum? Üniversitedeyken biz de, yani öğrenciler, birbirimize hocam diye hitap ederdik ama öğrenci olmayanların bu şekilde konuştuğunu hatırlamıyorum. Tamam, çok iletişim canlısı bir insan değildim, hala da değilimdir ama mesela hiç çıkmadığım kütüphanede bana görevliler tarafından bir kere bile hocam denilmediğinden eminim. Yani emin olduğumu sanıyorum. ODTÜ bu işin doruğuymuş meğer. Kantin çalışanları herkese hocam diyor. Tamam, mantıklı. En azından doğu felsefesinde. Eczane çalışanları telefona “alo”, “efendim” diye değil, “hocam” diye cevap veriyor. Aklıma gelmişken, bu ODTÜ eczacıları hayatta bulmaca çözemez. Soldan sağa üç harfli, telefonda hitap sözü? – Yine yanlış soru sormuşlar. Demin doruk dedim ama test etmediğim ama merak ettiğim bir durum var. Öğretim görevlileri de acaba öğrencilere hocam mı diyor?

Neyse kapıdan içeri girerken, pasaport kuyruklarında “Şu Avrupalılar amma ayrımcı, bizi buraya yığıyor, kötü muamele, hede hödö yapıyorlar” diyenlerin acaba kaçı ODTÜlüdür diye düşünüyordum. Ha bu saçmalık sadece ODTÜ’de mi var? Tabii ki hayır. Ben üniversitede okurken böyle kontroller hiç yoktu. Sonra güney kampüs girişine güvenlik koydular, öğrenci kartı filan kontrol ediyorlardı. O kadar kötü bir şeydi ki kızıp mezun olduğumu çok iyi hatırlıyorum. Hatta daha sonra yıllarca ders aldığım binaların girişine de otomatik kartlı sistem taktılar diye hatırlıyorum ama bunlar benim okula dönüş kabus rüyalarım da olabilir.  Bu tür kontroller yurtdışında da var mıdır bilmiyorum. Almanya’da birkaç tane üniversitede bulundum. Bunlarda da bırakın giriş kontrolünü, giriş diye bir yer yoktu. Tabii ki buna dayanarak bir genelleme yapmayacağım ama bence genelleme yapılacaksa girişin olmadığı şekilde yapılmalı.