Yılmaz Aksoy Blog

Zenon paradokslarından birine göre atılan ok hedefine varamazmış. Aslında bu paradoks ona mı ait yoksa paradokslarından birine mi benzetmişler bilmiyorum. Tabii ki atılan ok gerçek hayatta planlanan olmasa da hedefine varıyor. Bu paradoksun gerçekleştiğini bildiğim tek ortam rüyalarımdır. Örnek olarak geçenlerde gördüğüm bu rüyaya bakalım.

Rüyamda uçak inişe geçiyor. Aslında inişten önce de garip şeyler oluyor ama paradoksla pek ilgili değil sanırım. Örneğin önümdeki yolculardan biri aradığım kişinin kanatta olduğunu söylüyor. Ben de pencereden dışarı bakıyorum ama kanadın üzerinde kimse yok. Biraz daha aşağıya baktığımda ise kanadın içindeki kişiyi çok net görebiliyorum (Benim rüyam olduğuna göre tabii ki röntgen bakışlarım olacak). Neyse oldukça başarılı bir iniş sayılırdı. Uçak büyükçe bir şantiye girişinde doksan derece sağa dönen bir yolda kocaman bir kum yığınının solunda durdu. Tabii ki uçaktan hemen indik ve bagajları beklemeye başladım. Evet, kum yığınının yanında bekledim, yakınlarda terminal binası filan görünmüyordu. Bagajlar henüz gelmemişti, o zaman bir bagaj arabası alıp geleyim dedim. Uçağın biraz ilerisinde bagaj arabaları vardı ama onlar nedense naylonlara sarılmışlardı ve yerlerinden çıkarılamıyorlardı. O zaman şantiye yolundan aşağı doğru gidip şansımı oralarda deneyeyim dedim. Biraz ilerleyince sol tarafta yukarıya çıkan uzun taş basamaklı bir merdiven gördüm. Merdivenin başında da pek sevmediğim bir tanıdık. Onun da birkaç basamak ilerisinde iki tane tanımadığım adam vardı. İnişten sonra gördüğüm ilk canlılara doğru ilerlemeye başladım.

Tanıdığa yetiştiğimde öndeki adamlarla bir şeyler konuştuklarını duydum ama ne konuştuklarını anlamadım. Ben geldiğimde susmuşlardı zaten. İki adamı da tanımıyordum ama bende bunların karanlık tipler olduğu izlenimi uyanmıştı bile. Tanıdığa bagaj arabası nerede bulabilirim diye sordum. O da kendisinin benimle konuşmasının o iki elemanın hoşuna gitmediğini söyledi. Ben de kendisine ‘Allah belanı versin’ diyerek merdivenlerden aşağıya indim.

Birden panik başladı bende, uçağa doğru gidip bavulum indirilmiş mi diye bakmak istiyordum. O tarafa doğru yürümeye başlayınca karşıdan bir uçuş görevlisinin geldiğini gördüm. Durumu kendisine anlattığımda bana kendisiyle gelmemi söyledi, bana göstermek istediği bir şey varmış. Yürümeye başladığımızda uçaktan uzaklaştığımızı fark ettim ama bana bagaj arabalarının yerini göstereceğine göre bunu problem etmeye gerek yoktu. Sadece umarım yetişirim diye düşünüyordum.

Bir süre sonra karanlık bir depoya geldik. Depoda benden başka yolcular da vardı. Küçük masaların üzerlerinde çeşitli şeyler duruyordu. Görevli bize bunların yolcular tarafından unutulmuş eşyalar filan olduğunu, istediklerimizi alabileceğimizi söyledi. Ben unutulmuş bir adet yaş pastayı yemeye başladım. Ardından bavul arabası bulmaktan ümidimi de kaybettim (evet, pat diye) ve böylece uyanabildim.

Bu paradoksun doruğa çıktığı rüyalar ise okula dönüş rüyalarıdır. Sanırım bunlardan bahsetmeye hiç gerek yok.

Bizim grupta normalde tartışmalar şu şekilde olur:

A: Bu problemi şu şekilde çözmeliyiz!

B: Hayır!

A: Evet!

B: HAYIR!

…

Ses tonları git gide yükselir, yeni argümanlar aranmaz. Kendi düşüncesini en yüksek sesle savunan tartışmayı kazanır. Daha doğrusu kazandığına inanır. Tartışmayı uzaktan duyanlar şirkette çiftleşme arzusuyla yanıp tutuşan geyiklerin çalıştığını düşünebilir ki bu da gerçekten o kadar uzak değildir.

Dün ise şöyle bir sahne yaşandı. Grubumuzun matematikçisi, her zaman yaptığı gibi, sessizce başka bir elemanın masasına yaklaştı. Yakındaki masalardan kafalar birazdan başlayacak tartışmayı dinlemek için olay yerine çevrildi. Normalde tartışmadaki ikinci eleman M’ye (matematikçi eleman) ne istediğini sorar ve M de  o ana kadar planlamadığı sorusunu yarım dakika kadar düşünüp sorar. Tartışmanın devamı da yukarıda örneğe paralel gider. Bu sefer olaylar şöyle gelişti:

M: (diğer elemanın masasına gelir ve karşı tarafın kafasını kaldırmasını beklemeye başlar)

D (diğer eleman): (M’nin geldiğini fark etmesine rağmen kafasını kaldırmadan işine devam eder)

M: (D’nin kafasını kaldıracağından emin beklemeye devam eder)

D: (Kafasını kaldırmadan normal bir ses tonuyla) M., eğer herhangi bir selamlama kelimesi kullanmazsan konuşmayacağım.

M: (Beklemeye devam eder)

D: (Selam beklemeye devam eder)

Biz: (Ne oluyor lan?)

M: (Masanın başında dört dakika sessizce bekler ve sonra arkasını döner ve gider)

Bu yöntemin işe yaradığı görülünce belki diğer elemanlar da ileride bunu M’ye karşı kullanıp kullanmamayı düşünmüşlerdir. Ben bu yöntemi kullanmamaya karar verdim. Evet, kullanırsam başım daha az ağrıyacaktı ama o otuz saniye sessizlikten sonra gelecek saçma soruyu beklemenin getireceği paha biçilmez merakı ve heyecanı kaybetmeyi göze alamazdım.

Geçenlerde Steven G. Krantz’ın  ‘An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture through Problem Solving’ adlı kitabını okumaya başladım. Kitapta matematik tarihindeki önemli kişiler ve gelişmeler basit örnekler ve alıştırmalarla anlatılıyor. Bu açıdan kolayca okunan bir kitap ama yine bu anlaşılırlık hedefi yüzünden konular tamamen işlenmiyor.

Kitapta cebir kısmında Harezmi’den ve cebrin ortaya çıkmasından bahsedilen bölümde kullanılan ikinci derece denklem çözüm yöntemi ilgimi çekti. Oldukça kolay anlaşılır ve basit bu yöntemin temel mantığı kareye tamamlama işlemiydi. Bu yöntemi burada bir iki örnekle göstermeye çalışacağım. Soruları cebirsel şekilde göstereceğim ama burada hatırlanmalıdır ki cebrin ortaya çıktığı dönemlerde bu tür sorular her zaman kelimelerle anlatılıyordu.

\(x^2 + 10 \cdot{x} = 39 \)

Önce \(x^2 \) terimi için bir kenarı \(x \) uzunluğunda olan bir kare çiziliyor. Bu karenin alanı \(x^2 \) birimdir.

Sonra bu karenin her kenarına alanı \(2.5\cdot{x} \) olacak dört adet dikdörtgen ekleniyor. Bu yeni eklenen dikdörtgenlerin alanları toplamı da böylece \(10 \cdot{x} \) oluyor.

Böylece boyalı alan toplamı  \(x^2 + 10\cdot{x} \) olur. Bu toplam alanın 39 birim olduğu da sorunun başlangıcında verilmişti.

Şimdi şeklin dört köşesindeki eksik alanları da boyayalım ve başlangıçtakinden daha büyük bir kare elde edelim. Bu yeni küçük alanların her biri  \(2.5\cdot{2.5}=6.25 \) birim büyüklüğündedir. Yani toplamda  \(4 \cdot{6.25}=25 \) birim daha boyalı alan ediyor. Daha önceki toplam alan 39 birimdi. Böylece son karenin toplam alanı da  \(39 + 25 = 64 \) birim olur.

Alanı 64 olan karenin bir kenarı 8 birimdir. Yukarıdaki şekilden de görüyoruz ki büyük karenin bir kenarı  \(x + 2.5 + 2.5 = x + 5 \) birimdir. Bu terimi de 8’e eşitlersek sonuç olarak

\(x + 5 = 8 \implies{x=3} \) bulunur.

Bu yöntemle tabii ki denklemin eğer varsa pozitif bir çözümünü bulabiliriz. Bu şekilde \(x^2 + b\cdot{x}=c \) (\(b>0, c>0 \)) şeklindeki bütün denklemleri çözebiliriz, çünkü bu tür denklemlerin her zaman iki reel kökü vardır ve bu köklerden biri pozitiftir. İki reel kökün olduğunu görmek için diskriminanta bakmak yeterli.

\(x^2 + b\cdot{x} – c=0 \)

denkleminin diskriminantı aşağıdaki gibidir.

 \(b^2 + 4\cdot{c} > 0 \)

Bunun değeri de \(b>0, c>0 \) şartları için her zaman pozitiftir.

Peki denklemde b katsayısı negatif ise geometrik çözüm nasıl olur? Örnek olarak şu denklemi alalım:

\(x^2 – 4\cdot{x} = 12 \)

İlk adım, yani bir kenarı x olan kareyi çizmek aynı kalır. Ondan sonra karenin her kenarından bir kenarı \(x \), diğer kenarı da \(1 \) olan dikdörtgenler çıkarılır. Sonuçta ortaya şöyle bir şekil çıkar.

Başlangıçtaki kareden çıkarılan alanlar taralı alanlardır. Dört köşedeki çift taralı alanlar bu işlem sırasında iki defa çıkarılmıştır. Bu nedenle bu köşelerin alanlarını denklemin sağ tarafına eklememiz gerekmektedir. Böylece şekildeki taralama olmayan mavi alan  \(12 + 4 = 16 \) olur. Alanı 16 olan karenin bir kenarı da 4 birimdir.

Bunu kullanarak ilk baştaki karenin bir kenarını bulabiliriz.

\(1 + 4 + 1 = x = 6 \)

Bu denklem türü ( \(b<0, c>0 \)) de her zaman pozitif diskriminanta ve pozitif bir köke sahip olduğundan yukarıdaki geometrik yöntemle çözülebilir.

Kaynakça:

 ‘An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture through Problem Solving’,  Steven G. Krantz

Vikipedi: https://tr.wikipedia.org/wiki/H%C3%A2rizm%C3%AE

Şirkette yaklaşık bir haftadır şu problemi tartışıyoruz. Makine çalıştırıldığında ekranda makine durumu olarak ‘ABORTED’ yazıyor ama hata listesi boş. Programcı arkadaşlar bunun nedenini araştırdı ve sonunda bir açıklama buldular. Teknik kısmına çok fazla girmek istemiyorum ama kısaca kullanıcı ekranda hata listesini gördüğünü  onayladığında sistemde bütün hatalar giderilmediğinden makine ‘ABORTED’ durumuna geçiyor ve hemen ardından hataların kalanı da gideriliyor ama makine artık onaylama işlemini terk ettiğinden bu değişiklik göz ardı ediliyor.

Sonra problemin çözümünün ne olacağını sorduk ve programcı da kullanıcının tekrar hata onaylama düğmesine basması gerektiğini söyledi. Tabii ki kullanıcının olmayan hata listesini onaylamasını beklemek bizde bir şaşkınlığa yol açtı. Neden böyle olması gerektiğini sorduğumuzda da bize sistemin durumlarının gösterildiği bir diyagram üzerinde ‘ABORTED’ durumundan ‘STOPPED’ durumuna sadece kullanıcı onayıyla geçilebileceğini gösterdi. Bunun üzerine kendisiyle şöyle bir konuşma yaptık:

Biz: ‘ABORTED’ ne demek?

Programcı: Makinenin bir durumu.

Biz: Tamam da diğer durumlardan farkı ne? Mesela neden ‘STOPPED’ değil?

Programcı: Hata varsa ‘ABORTED’ yoksa ‘STOPPED’.

Biz: Peki bu tartıştığımız problem durumunda (hata listesi boş)  sistem neden ‘ABORTED’ durumunda? Tanıma göre bu yasak olmalı.

Programcı: Ama bu diyagrama göre o duruma geçtiğimde sistemde hata vardı, sonra o durumdayken hatalar giderildi ve yine diyagrama göre bu durumdan çıkışın tek yolu kullanıcı onayı.

Biz: İyi de bu diyagram bize söylediğin sistemin durum tanımlarıyla çelişiyor. İkisinden en az biri yanlış olmalı.

Günün kalan kısmındaki tartışmalardan duyabildiğim kadarıyla programcı arkadaş bu çelişkiyi ayakta tutabilmek için öyle şeyler denemiş ki, düzeltilen her problem iki yeni probleme yol açar olmuş. Tabii ki bu o kadar şaşırtıcı olmadı. Ne de olsa bir çelişkiyi çalışabilir yapmak için daha başka hatalara ihtiyaç vardır. Sonuç olarak basit mantık hatalarına karşı direnmenin masrafı böylece yine yüksek çıktı da rahat bir nefes aldım. Yoksa mantık ne işimize yarayacak diye soranlara ne cevap vereceğimi bilemezdim.

“Kandil’den talimat geliyor. Ne diyor Kandil, “Hayır diyeceksiniz” diyor. Hayır diyor bunlar. Şimdi, Kandil “Hayır” diyor. Kandil ile beraber “Hayır” diyenler onlarla aynı değil mi?  Kişi sevdikleri ile beraberdir. Biliyorsunuz değil mi? Dolayısıyla “Efendim ne alakası var” demeyin. Kılavuzu karga olanın, bir şey demiyorum. Onlar bu. Biz diyoruz ki ‘Hak tecelli edecek’.

Bu alıntıda dikkatimi çeken yöntemleri mantık kuralları çerçevesinde ayrıntılı incelemeyeceğim. Sadece hemen göze çarpan yönlere değinmek istiyorum.

Birinci teknikte talimat üzerine hayır diyen bir grup alınıyor ve sonra bu talimat şartı çok estetik bir şekilde yumuşatılıp kaldırılıyor ve hayır diyen bütün bir grup ele alınıyor. “Kişi sevdikleri ile beraberdir” diyerek de üzerine tüy dikiliyor. Bu teknikle çok ilginç çıkarımlar yapılabilir.

Örnek: Şeytan, Allah’ın varlığından ve onun bir olduğundan emindir. Şeytan “Allah birdir” dediği an müminler Allah’ın bir olduğunu onaylayamaz mı? Onaylarsa şeytanla beraber olacaklar, yani sevdikleri ile. Bu çıkarım saçma değil mi?

Örnek: Sevmediğimiz biri 2+2=4 derse bunu onaylayamayacak mıyız? Hele sevmediğimiz kişi matematik öğretmenimizse.

Bu örnekler daha da çoğaltılabilir.

İkinci teknik (“Kılavuzu karga olanın, bir şey demiyorum.”) de bana doğrudan Ahmet Çakar’ı hatırlattı. O da bazen programlarında coşar ve buna benzer şeyler söylerdi:

“Şimdi ben burada çıkıp federasyon başkanına eşcinsel desem, ama bakın demiyorum”.

Yukarıdaki alıntıda Ahmet Çakar yöntemi bir adım daha ileri götürülmüş ve kahramanımız bir şey demiyorum dedikten hemen sonra aslında bu şeyi dediğini onaylamış.

Bu tekniklere iyi çalışın, bir dahaki seçimlerde buralardan kesinlikle sorular çıkacak.